ランダム力学系におけるホモクリニック接触の幾何と統計

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ホモクリニック接触を持つ力学系に対しては、時間平均が存在しない点の集合（Birkhoff非正則集合）がLebesgue測度正となる例が豊富に存在することが知られている。一方でV. Araujoは2000年に、「物理ノイズ下ではBirkhoff非正則集合がLebesgue測度零になる」ことを証明した。これはPalis予想への部分的貢献など可微分力学系理論に少なくない影響を与えたが、その後目立った進展はなかった。これに関連して次のような結果を得た。（１）Araujoの結果における物理ノイズは2つの条件を満たすノイズと定義されるが、うち1つが実は不要であり、もう1つの仮定も「一様収縮性」と呼ばれるMarkov作用素論における既知の概念の十分条件になっていることを示した。さらに「平均収縮性」の概念を導入し、後者がAraujoの結果における結論と同値になる事を示し、論文投稿した（中村文彦氏、豊川永喜氏（北見工大）、P. Barrientos氏（UFF）との共同研究）。（２）Araujoは時間平均の存在と有限性までしか結論していないが、物理ノイズ下では中心極限定理なども成立することを上記の共同研究の中で示した。ここからあらわれる自然な疑問として、「中立不動点を持つ間欠性写像のような、重要だが中心極限定理が成り立たない力学系の物理ノイズによる摂動系は、零ノイズ極限でどのように振る舞うか」というものである。これを背景として、準安定性にまつわる問題について、中村氏、S. Lloyd氏（XJTLU）、S. Vaienti氏（CIRM）、W. Bahsoun氏（Loughborough）らと研究を進め、一部完成した部分を論文投稿準備中である。また、平均間欠性を持つランダム力学系のDarling-Kac法則、逆正弦法則に関する結果（中村氏、豊川氏、矢野孝次氏（大阪大）との共同研究）も論文投稿した。