転移作用素のスペクトル構造の解析による確率安定性の研究

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今年度は、昨年度に引き続き、(1)準古典解析的手法による部分拡大写像の転移作用素のスペクトル構造の安定性解析、および(2)混合的でも可逆でもない摂動に対する拡大写像の転移作用素のスペクトル安定性を通した確率安定性の研究を行い、その結果を研究集会発表・論文投稿した。(1)について、報告者は、昨年度までの研究における最も大きな問題であった「転移作用素(から誘導される擬微分作用素)の主表象計算による評価における、(準古典パラメータに関する)剰余項のノイズ・パラメータに対する非一様性」を、上記の性質がノイズ・パラメータに関して一様に成り立つことを証明する形で解決した。ここでは二重表象計算と呼ばれる技術(森本芳則教授・京都大から示唆していただいた)を主な道具として利用しされたが、これは従来の漸近展開公式では得られなかったノイズ・パラメータに関する一様評価を得るための鍵となった。この結果は、「部分双曲力学系の典型例である2次元トーラス上の部分拡大写像の、SRB測度の唯一性の仮定の下での、確率安定性や相関関数の減衰速度の安定性」などの重要な結論を意味し、研究実施計画にあるようなスペクトル解析による確率安定性の証明においても重要な役割を果たすことを確認した。以上の結果はJ. Wittstenとの共同研究である。(2)について、報告者は昨年度までの研究の中で導入された、ランダムな転移作用素(という連続作用素値の確率変数)から誘導されるグラフ変換のスペクトル解析を発展させることで、拡大写像の確率安定性の証明におけるノイズへの混合性・可逆性の仮定を除去することに成功した。これらの仮定は物理的な文脈から考えると不自然な仮定であるものの、技術的な理由から改良が難しかった。そこで、先述の作用素と適切な関数空間を導入することにより、混合的でも可逆でもない摂動下での拡大写像の確率安定性の簡潔な証明を与えることに成功した。