Optimierung hochdimensionaler Portfolios bei nichtnormalverteilten Renditeprozessen

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In den vergangenen zwanzig Jahren ist das Interesse an der statistischen Modellierung von Wertpapierrenditen sowohl innerhalb der Wissenschaft als auch der Praxis erheblich gewachsen. Die Gründe dieses gewachsenen Interesses wurzeln in der Erkenntnis, dass die traditionelle Annahme einer (stationären) Normalverteilung für die meisten Wertpapierrenditen höherer bis mittlerer Frequenz, also etwa für Tages-,Wochen- und Monatsdaten, kein geeignetes Verteilungsmodell zur Verfügung stellt. Es haben sich eine Reihe sogenannter “stilisierter Fakten” herauskristallisiert, in denen die charakteristischen Abweichungen der empirischen Renditeverteilungen von der Normalverteilung zusammengefasst werden. Zu diesen zählen insbesondere Leptokurtosis und Schiefe sowie Abhängigkeiten in den absoluten Momenten der Renditeverteilung, also eine gewisse Prognostizierbarkeit des Risikos finanzieller Positionen (bedingte Heteroskedastie). Eine weitere und, wiewohl noch nicht in vergleichbarer Tiefe untersuchte, für Portfoliowahl und Risikomanagement ebenso bedeutsame Eigenschaft der gemeinsamen Verteilung der Wertpapierrenditen ist das Phänomen der asymmetrischen Abhängigkeit. Damit wird die Beobachtung bezeichnet, dass etwa die Korrelationen zwischen den Renditen von Marktregimen abhängen. So sind die Korrelationen in “Bärenmärkten”, wenn die erwarteten Renditen relativ gering und die bedingten Volatilitäten hoch sind, tendenziell größer als in ruhigeren Marktperioden.Obgleich die eben diskutierten “stilisierten Fakten” mittlerweile ausführlich dokumentiert und zahlreiche Modelle mit entsprechenden Eigenschaften zu ihrer Berücksichtigung vorgeschlagen wurden, besteht nach wie vor ein Mangel an solchen Modellen, die einerseits die unbedingten und bedingten Verteilungseigenschaften der Renditen erfassen, andererseits aber auch zur Anwendung auf Probleme mit hochdimensionalen Renditevektoren, wie sie sich in der Praxis häufig stellen, geeignet sind.Solche Modelle zu entwickeln und empirisch zu überprüfen, ist das Ziel des beantragten Forschungsvorhabens. Die entwickelten Modelle sollen dabei auf der Klasse gemischter Normalverteilungen beruhen. Mit Hilfe dieser Verteilungsklasse können alle der oben genannten “stilisierten Fakten” reproduziert werden. Es ist z.B. bekannt, dass solche Verteilungen auf sehr flexible Weise Schiefe und Leptokurtosis abbilden können. Bedingte Heteroskedastie kann auf effiziente Weise in solche Verteilungen integriert werden, wobei zusätzlich regimeabhängige Volatilitätsprozesse berücksichtigt werden können. Darüber hinaus stellen multivariate Mischungen aus Normalverteilungen einen intuitiv sehr ansprechenden Rahmen für die Einführung regimeabhängiger Korrelationsstrukturen bereit, wenn nämlich die Komponenten der Mischungsverteilung als bedingte Verteilungen der jeweiligen Marktzustände interpretiert werden.