Casson不変量の特異点論的解釈

本研究の主対象であるCasson不変量の理解に向けて，Reidemeister torsionとChern-Simons摂動論の関係について研究を進めている．Chern-Simons摂動論は３次元多様体の不変量を大量に与えるが，本研究のテーマであるCasson不変量はその最も基本的な不変量の１つととらえることができる．この意味でChern-Simons摂動論とReidemeister torsionの関係を調べることは本研究を遂行する上で重要である．より具体的に研究内容を述べる．Chern-Simons摂動論で自然に現れるdefectと呼ばれる不変量と，Reidemeister torsionは本質的に等価であることが期待される．これはChern-Simons摂動論の物理的背景(Chern-Simons量子場の理論)およびいくつかの先行研究から自然に期待される予想である．この予想の真偽を調べるため，いくつかの具体的状況において研究を遂行している．defectとReidemeister torsionは共に非輪状表現の不変量とみることができるが，昨年度までの研究で表現がアーベル表現の場合には両不変量が本質的に等価であることを証明している．本年度はより広い非輪状表現についてアプローチを行い，主に以下の２つの成果を得た：１）結び目に沿った手術によって得られる具体的な例のクラスに対して組み合わせ的な計算方法を確立した．２）北野晃朗氏(創価大学)との共同研究で，トーラス和に関する手術公式を確立した．これらの成果により今後具体的計算を用いた問題へのアプローチが可能となる．

本研究の主対象であるCasson不変量の理解に向けて，Reidemeister torsionとChern-Simons摂動論の関係について研究を進めている．Chern-Simons摂動論は３次元多様体の不変量を大量に与えるが，本研究のテーマであるCasson不変量はその最も基本的な不変量の１つととらえることができる．この意味でChern-Simons摂動論とReidemeister torsionの関係を調べることは本研究を遂行する上で重要である．より具体的に研究内容を述べる．Chern-Simons摂動論で自然に現れるdefectと呼ばれる不変量と，Reidemeister torsionは本質的に等価であることが期待される．これはChern-Simons摂動論の物理的背景(Chern-Simons量子場の理論)およびいくつかの先行研究から自然に期待される予想である．この予想の真偽を調べるため，いくつかの具体的状況において研究を遂行している．defectとReidemeister torsionは共に非輪状表現の不変量とみることができるが，昨年度までの研究で表現がアーベル表現の場合には両不変量が本質的に等価であることを証明している．本年度はより広い非輪状表現についてアプローチを行い，主に以下の２つの成果を得た：１）結び目に沿った手術によって得られる具体的な例のクラスに対して組み合わせ的な計算方法を確立した．２）北野晃朗氏(創価大学)との共同研究で，トーラス和に関する手術公式を確立した．これらの成果により今後具体的計算を用いた問題へのアプローチが可能となる．