有限体積法によって生成される楕円型作用素の解析半群理論と非線形問題への応用

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(1) 前年度の結果（有限体積法に関する離散半群の理論）を利用して，Keller--Segel 方程式に対する質量と正値性を保存する有限体積法 (FVM) の最適誤差評価を得られた．離散解の事前評価に工夫を入れて，安定性を示した．2017に発表された先行研究の結果に比べて，収束オーダーを改善し，離散解の安定性仮定も不要になった．意義を重要性：我々はFVMの離散半群理論を複雑な非線形方程式に適用することを成功した．本研究の解析手法は Keller--Segel 方程式だけではなく，他の非線形方程式にも適用できる．FVM 離散半群理論の応用にとって重要な貢献と言える．(2) DG 要素は離散 Sobolev 空間であり，研究課題に関連する．不連続な Galerkin (DG) 要素を利用する Stokes--Darcy 方程式の Penalty 法と Nitsche's 法の研究を行った．最適な安定性と誤差評価を得るため，我々は DG 要素に関する離散 H^{1/2} ノルムと逆 Trace 作用素の理論を構築した．意義を重要性：本研究で得られた離散 H^{1/2} ノルムと逆 Trace 作用素に関する理論結果は DG 法の一つの基盤理論であり，様々な問題に応用できる．