特異性を伴う混合型非線形楕円型境界値問題における非自明解集合の大域的構造の研究

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沿岸漁業収穫をモデル化した非線形境界条件のもとで，領域内部の魚量がヴェアフルストモデルによるロジスティック方程式に従っている。非線形境界条件を用いたモデル化は D. Grass, H. Uecker, T. Upmann(Optimal fishery with coastal catch, Nat. Resour. Model. 32 (2019), e12235, 32 pp) によって提唱された。このとき，収穫努力を表す正値パラメータを設定して，その変化に依存した非自明非負解（以下，解）の振る舞いを考察した。領域の大きさに依存するディリシレ固有値問題の第一固有値に従って 2 つの場合を考察する。領域が比較的大きい場合は非自明非負解集合（以下，解集合）は単純である。パラメータに関する解の大域的存在が成り立つ。また解の一意性が期待される。他方，比較的小さい場合には，解の存在と非存在を与えるパラメータレンジの存在を伴ってそれは複雑である。また解の多重性が成り立つパラメータレンジが存在し，パラメータに関して解集合が折り返し点を持つ。本研究課題の今年度の目的は，その2つの場合を分ける臨界状況に深く切り込んで，解集合の定性的振る舞いを十分に理解することである。非線形性を与える関数について，そこに現れる2つの指数の相互作用が解集合の出現に及ぼす影響を研究した。解が存在するためのパラメータレンジを上から評価することに成功し，解集合の振る舞いをある意味制御することができた。これにより解集合の特徴付けに道筋をつけた。臨界状況においては非臨界の場合に取られた手法の多くが適用できない。変分解析及び分岐解析の手法において臨界版の開発が必要である。