Differential/difference algebraic properties of solutions of difference equations

2次式型の1階有理的差分方程式に対する解の微分超越性についての論文が出版された。関数が微分超越的とは、いかなる代数的微分方程式の解にもならないという性質で、超超越性ともいう。ガンマ関数が代表例である。また、微分超越的でないとき微分代数的という。今回の論文で明らかにしたのは、方程式が定数係数ではない場合に、微分代数的な超越関数解が存在するための必要十分条件である。条件は係数のみの関係式で記述される簡潔なものとなっている。他に、四則演算と差分が定義された集合（差分環・体）の強正規拡大について、その具体例を豊富にすることを目的として文献調査および考察を行った。強正規拡大によるガロワ理論は、線形差分方程式に関するピカール・ヴェシオ拡大によるガロワ理論を拡張したものであり、ある程度の非線形差分方程式を扱えるはずである。実際、楕円関数が強正規拡大を生成することが知られている。なお、差分ではなく微分の場合には、微分体（四則演算と微分が定義された体）の強正規拡大はいわゆる梅村の古典関数の微分代数的定義を与える。このことから、２階代数的微分方程式の中でも良い性質を持つとされるパンルヴェ方程式が梅村の古典超越関数解を持つか否かという問題の解決に用いられた。これをパンルヴェ方程式の既約性という。パンルヴェ方程式には差分における対応物があり、差分体の強正規拡大を用いた同様の研究がなされているが、その詳細は過去の研究課題を参照されたい。

2次式型の1階有理的差分方程式に対する解の微分超越性についての論文が出版された。関数が微分超越的とは、いかなる代数的微分方程式の解にもならないという性質で、超超越性ともいう。ガンマ関数が代表例である。また、微分超越的でないとき微分代数的という。今回の論文で明らかにしたのは、方程式が定数係数ではない場合に、微分代数的な超越関数解が存在するための必要十分条件である。条件は係数のみの関係式で記述される簡潔なものとなっている。他に、四則演算と差分が定義された集合（差分環・体）の強正規拡大について、その具体例を豊富にすることを目的として文献調査および考察を行った。強正規拡大によるガロワ理論は、線形差分方程式に関するピカール・ヴェシオ拡大によるガロワ理論を拡張したものであり、ある程度の非線形差分方程式を扱えるはずである。実際、楕円関数が強正規拡大を生成することが知られている。なお、差分ではなく微分の場合には、微分体（四則演算と微分が定義された体）の強正規拡大はいわゆる梅村の古典関数の微分代数的定義を与える。このことから、２階代数的微分方程式の中でも良い性質を持つとされるパンルヴェ方程式が梅村の古典超越関数解を持つか否かという問題の解決に用いられた。これをパンルヴェ方程式の既約性という。パンルヴェ方程式には差分における対応物があり、差分体の強正規拡大を用いた同様の研究がなされているが、その詳細は過去の研究課題を参照されたい。