Bicategorical covering theory and derived equivalence classifications

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以下、Gを群、Iを小圏とし、kを可換環とする。また、k-小圏 [微分次数k-小圏] 全体、それらの間の関手全体と自然変換のなす2-圏をk-Cat [k-dgCat] とおく。前年度において，導来同値の貼り合わせ理論を、以下のように微分次数k-圏に拡張していた。すなわち、Iからk-dgCatへの余弱関手(colax functor) XとX’に対して，XのGrothendieck構成をGr(X)で表すとき、以下の(1), (2), (3)において(1)=>(2)=>(3)が成り立つという定理を証明していた（簡単のためkを体とする）。(1) X, X'は導来同値である。(2) X'は、Xに対するI-不変傾部分余弱関手Tに擬同値である。(3) Gr(X)とGr(X')は導来同値である。本年度は，(1)を強めた条件(1’)として，X’はXに標準的に導来同値であるという条件，すなわち，X’の微分次数加群圏余弱関手からXの微分次数加群圏余弱関手への射の導来関手としてX’の導来圏余弱関手からXの導来圏余弱関手への同値が与えられる，という条件を考え，実はこれと(2)が同値になっていることを証明した。さらにこの同値はXやX’にkフラットなどの条件を課すことなく一般的に証明できたので，kが体という条件も不要になった。この結果と前年度の結果を合わせて1つの論文として投稿した。さらにその応用例を与えるために，Xが関手である場合について，XのGrothendieck構成を計算する方法を与えた。Ginzburg微分次数圏に応用するために，完備化についても計算法を与えた。現在，応用例を計算しているところである。以上の他に，前被覆関手を系統的に導くために，2関手を用いた統一的な定理を証明することができた。これについては現在論文を準備中である。