圏論的力学系の研究

研究課題である「圏論的力学系の研究」について，三角圏の自己同値群の力学的側面を考察した．以下，詳細を述べる．(1)Dimitrov-Haiden-Katzarkov-Kontsevichにより，擬Anosov写像の圏論的類似として擬Anosov函手が導入された．報告者は，擬Anosov写像が持つ性質の圏論的類似を動機として，安定性条件のなす集合への作用の観点から擬Anosov函手を調べた．擬Anosov函手の双曲性を示すとともに，推移長(translation length)と圏論的エントロピーの間の不等式を導出した．同2019年にFan-Filip-Haiden-Katzarkov-Liuにより一般化された定義が与えられており，擬Anosov函手の理論はさらなる発展が見込める．(2)Serre函手の圏論的エントロピーの漸近挙動は，代数多様体や多元環の次元のような振る舞いをする．この観察から導来圏，より広く三角圏に対してSerre次元という量が定義される．報告者は，高橋篤史氏と大内元気氏との共同研究で，このSerre次元とIkeda-Qiuにより定義された安定性条件の大域次元という量を比較した．さらにGepner型安定性条件を持つという仮定のもと，Serre次元が１より小さい三角圏の分類を行った．(3)距離空間への等長作用という観点から，安定性条件の成す集合とその上の自然な距離の非正曲率的性質(CAT(0)性，Gromov双曲性)を調べた．結果として，この距離空間がCAT(0)でもGromov双曲的でもないことを示した．さらにKronecker箙の場合で，複素数体作用に関する商空間上の商距離がCAT(0)ではないことを示した．今後はK3曲面の場合に別の距離のCAT(0)性を考察し，自己同値群の等長作用を調べる．

研究課題である「圏論的力学系の研究」について，三角圏の自己同値群の力学的側面を考察した．以下，詳細を述べる．(1)Dimitrov-Haiden-Katzarkov-Kontsevichにより，擬Anosov写像の圏論的類似として擬Anosov函手が導入された．報告者は，擬Anosov写像が持つ性質の圏論的類似を動機として，安定性条件のなす集合への作用の観点から擬Anosov函手を調べた．擬Anosov函手の双曲性を示すとともに，推移長(translation length)と圏論的エントロピーの間の不等式を導出した．同2019年にFan-Filip-Haiden-Katzarkov-Liuにより一般化された定義が与えられており，擬Anosov函手の理論はさらなる発展が見込める．(2)Serre函手の圏論的エントロピーの漸近挙動は，代数多様体や多元環の次元のような振る舞いをする．この観察から導来圏，より広く三角圏に対してSerre次元という量が定義される．報告者は，高橋篤史氏と大内元気氏との共同研究で，このSerre次元とIkeda-Qiuにより定義された安定性条件の大域次元という量を比較した．さらにGepner型安定性条件を持つという仮定のもと，Serre次元が１より小さい三角圏の分類を行った．(3)距離空間への等長作用という観点から，安定性条件の成す集合とその上の自然な距離の非正曲率的性質(CAT(0)性，Gromov双曲性)を調べた．結果として，この距離空間がCAT(0)でもGromov双曲的でもないことを示した．さらにKronecker箙の場合で，複素数体作用に関する商空間上の商距離がCAT(0)ではないことを示した．今後はK3曲面の場合に別の距離のCAT(0)性を考察し，自己同値群の等長作用を調べる．