無限次元対称性に基づく超対称ゲージ理論の可解性と双対性の解明

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本年度は主にcorner VOAと呼ばれるW代数の量子変形について研究を行った。この代数は、最近超対称ゲージ理論の文脈で提唱されたもので、ゲージ理論側の双対性に由来するトライアリティという興味深い性質を持つ。一般にW代数の表現論を理解する有効な手法として自由場表示があり、corner VOAに対する具体形も予想されていたが、証明はされていなかった。この問題に対し、本研究ではcorner VOAではなく、その量子変形を扱うことで、見通しよく代数を扱えるのではないかと考えた。具体的には、量子トロイダル代数と呼ばれる代数を考察し、その自由場表示と余積構造を用いることで、自由場表示を量子変形版のMiura変換として書き下すことに成功した。また、自由場表示において重要な役割を果たす遮蔽電荷との可換性や、複数通りある自由場表示が同型な代数を与えることについて、量子トロイダル代数の観点から解釈できることを指摘した。さらに、自由場表示から代数関係式を予想し、部分的に証明した。一般にW代数の関係式はあからさまに書けないことを考えると、量子変形を考察した利点の一つだと言える。また、N=2超ビラソロ代数の量子変形についての研究も行った。こちらも自由場表示をもとに研究を進めた。また、それを元に代数関係式を明示的に書き下し、閉じた表式を得ることができた。また、この代数関係式をもとに表現論も調べ、いくつか望ましい性質が満たされていることも確認できた。