Kardar-Parisi-Zhang universality for large scale interacting systems

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本研究課題ではKardar-Parisi-Zhang（KPZ）方程式という確率偏微分方程式の普遍性について，大規模相互作用系というミクロ系の観点から理解することを目的としていた．KPZ方程式は，紙の燃焼やがん細胞の成長など，ランダムな界面成長を記述する確率偏微分方程式であり，1986年に導入された．この方程式は，様々な界面成長現象を普遍的に記述していると予想されており，実際，いくつかの界面成長モデルに対するスケール極限からKPZ方程式が導出されることが証明されてきた．このような普遍性は，考えている系の詳細によらずに成り立つと物理的に予想されている．しかし，数学的にはこのような普遍性が成り立つ理由や背景は不明な点が多く，数学的に厳密にKPZ方程式を導出するという結果もまだ少ない状況である．そこで，本研究課題では，巨大自由度を持つランダム系である「大規模相互作用系」を考え，スケール極限によりKPZ方程式をロバストに導出するということを目的にしていた．特に，系の温度を無限大にすることで普遍的にKPZ方程式を導出するために必要な構造を取り出すことが可能であると考え，このアプローチに基づき個別に3つのモデル（零レンジ過程，相互作用拡散，相互作用振動子）について解析を行った．その結果として，3つのモデルからKPZ方程式を導出することが可能であり，全く元の構造が異なる3つのモデルにおける共通の性質を見出すことができた．上述のアプローチは他のモデルに対しても適用可能であると考えられ，更なる拡張を検討している．