1-ラプラス作用素とp-ラプラス作用素を含む特異拡散方程式の弱解の正則性

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1-ラプラス作用素とp-ラプラス作用素の両方を含む2階特異楕円型方程式（スカラー値問題）および方程式系（ベクトル値問題）の弱解の正則性について研究した。このような問題は、ビンガム流体の流れや結晶表面の成長を記述する数理モデルで現れるエネルギー汎函数の変分問題として現れる。空間拡散作用の非線形性により、方程式の解は古典的な意味での解ではなく、弱い意味での解（弱解）を扱う必要に迫られる。弱解の正則性（なめらかさ）がどこまで復元できるかはしばしば非自明な課題である。弱解の正則性について、本問題の数学解析における最も困難な点は、p-ラプラス作用素とは異なり、1-ラプラス作用素の拡散作用には特異性と退化性の両側面を併せ持つことである。このような異方拡散性により、本問題では弱解の平らな面（ファセット）において一様楕円性が崩れてしまい、よく知られたDe Giorgi--Nash--Moser正則性理論の手法をそのまま適用することが難しくなる。特に、ファセットのふちにおいては微分の連続度を定量的に与えることが困難となる。2022年度の研究では、上記の特異楕円型問題に対して、ファセットの周りで適切に切り捨てを施した微分を導入した。既存の正則性理論を注意深く用いることで、このような「切り捨てられた微分」の連続性を与えた。この結果をもとに、スカラー値・ベクトル値の両問題において、微分の連続性を定性的に示すことに成功した。さらに、スカラー値問題においては、1-ラプラス作用素の一般化に成功した。特に、正斉次一次凸エネルギーの変分として現れる、異方的な特異拡散作用素に拡張した。現在は、微分の連続性の結果を、放物型問題へ拡張することを試みている。