A study of solutions of the Painleve equation derived from monodromy invariant Hermitian forms.

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本研究は，線形Fuchs型常微分方程式のモノドロミーが不変エルミート形式を持つ(即ちユニタリ性を持つ)とき，その線形方程式に対応するパンルヴェ方程式の解がどのような性質を持つかを明らかにすることを目指している。本年度は，昨年度に受理された論文で得られた結果の一般化が得られた。即ち，(n+1)個の特異点を持つ2階線形Fuchs型方程式のモノドロミーが不変エルミート形式を持つための条件をモノドロミー多様体と呼ばれる代数多様体の座標を用いて特徴付け，さらにそのようなモノドロミーと付随する不変エルミート形式を具体的に構成した。モノドロミー多様体の点は，第6パンルヴェ方程式(n=3の場合)やガルニエ系(n≧4の場合)の解と対応している。例えば第6パンルヴェ方程式の解のタウ函数の漸近展開及びフーリエ展開はモノドロミー多様体の言葉で記述されることが知られている(神保，Gamayun-Iorgov-Lisovyyなど)。従って上記の結果は，Hermitian-classに属するパンルヴェ方程式やガルニエ系の解とそれらに付随するエルミート形式を解析しやすく，また先行研究との親和性が高い見方で捉えたことを意味している。以上の研究成果をまとめた論文を学術雑誌に投稿した。またいくつかの研究会において成果を発表し，多くの専門家と意見交換した。また，本研究と多変数完全積分可能系の理論を関係させるという着想の下で具体例の計算を始めた。具体的には，与えられた線形Fuchs型方程式を特異点集合への制限に持つような完全積分可能な線形Pfaff系の構成とその解析である。完全積分可能系やそのモノドロミー，方程式の延長・制限は現在活発に研究されており，モノドロミー保存変形を通してパンルヴェ方程式やそれを一般化した非線形方程式の特殊解とも関係がある。今後も本研究課題の視点から考察を深めたい。