非可換Lubin-Tate理論に関連する幾何と表現論

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(1) 非可換Lubin-Tate理論によれば，Lubin-Tate塔のl進コホモロジーはGL(n)の局所Langlands対応と局所Jacquet-Langlands対応を実現する．本研究課題の主要な問題は，Lubin-Tateパーフェクトイド空間のアフィノイド部分空間であって，本質的従順表現と直接に関連するものの構成であった．本年度は，完全従順分岐拡大体の指標でパラメトライズされる本質的従順表現の場合に，そのようなアフィノイド部分空間を構成するための手がかりを得るべく，還元としてどのような有限体上の代数多様体が得られるべきか考察した．既知の場合を基に表現論的な知見も考慮に入れて構成した代数多様体のコホモロジーに有限群が作用し，Bushnell-Henniartの指標によるひねりが確かに現れる様子を確認できたものの，いくつかの細かな点が残った．このような代数多様体は，それ自体興味深い対象と思われるので，残った細部を詰めて早急に論文にまとめたい．(2) Tasho Kaletha氏は，かなり一般のp進簡約代数群Gに対して，正則超尖点表現という既約表現のクラスを定義し，それらに対する局所Langlands対応の候補を構成した．本年度行った，京都大学の大井雅雄氏との共同研究において，GがGL(n)の場合にKalethaの局所Langlands対応が既存の局所Langlands対応と一致することを証明した．GL(n)の正則超尖点表現は本質的従順表現にほかならないため，Bushnell-Henniartによる局所Langlands対応の記述と比較した．現在，この成果についての論文を執筆中である．この研究を通して，正則超尖点表現の局所Langlands対応やその基礎となる正則超尖点表現の構成の理解を深めたことは，将来，本研究課題をGL(n)以外の群に拡張する際に役立つと見込まれる．