Research on Koszul AS-regular algebras from the categorical view of Non-commutative algebraic geometry and Representation theory

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全ての3次元quadratic AS正 則環Aに対して、本研究の意味での「非可換射影平面(Aに付随する非可換射影スキーム)が中心上有限生成になること」と、幾何の自己同型のノルムという概念が 有限であることが同値であることを示した。Aが中心上有限生成であることと、幾何の自己同型の位数が有限であることが同値であることを、Artin-Tate-Van den Bergh が証明したが、この研究の結果は彼らの結果の圏論的な意味での拡張であるといえる。さらに、幾何の自己同型のノルムが1また は無限大であることと, 非可換射影平面がfat point とよばれるA上の加群を持たないことと, 多元環の表現論の考察対象である、Aに対応するBeilinson algebra 上のsimple regular moduleの同型類が射影平面内のでパラメトライズされることが同値であることを得た。本年度は本研究課題の1つのテーマの完成に向けた研究に取り掛かかることができた。3次元quadratic AS正則環 Aに対応するBeilinson algebra のAuslander- Reiten 理論での振る舞いを考察し, 多元環の表現論の手法を用いてAR-quiver におけるregular module を考察し，先行研究で射影平面内の3つの直線が1点で交わる幾何と対応する幾何的代数(Type S) のときに regular module たちは AR-quiver の中で幾何でパラメトライズされることが証明されているが，さらにこれらはAに対応するBeilinson algebra 上のsimple regular module がIyama-herschend-Oppermannの意味での2-representation tame 型であることが同値であることを射影平面内の3つの直線が三角形 をなすときに対応する幾何的代数(Type S')の場合に成り立つことを証明することに成功した。これはType S'の幾何的代数の中心の生成元を計算によって具体的に特定し、このことを理論的なことを組み合わせることで証明を得ることができた。