Research on arithmetic phenomena via generalized theory of motives

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モジュラス付きモチーフ理論の応用とさらなる基盤整備を目指して研究を推進し、下記の成果を得た。(1)：モジュラス付きモチーフ理論の主目的は、従来のモチーフ理論では捉えられない「非ホモトピー不変」なコホモロジーを制御することである。最低限の基礎理論はこれまでの研究で完成したため、具体的に非ホモトピー不変なコホモロジーを制御することが次なるステップとなる。構造層のコホモロジーは、代数多様体上のコホモロジーの中で最も基本的であるにもかかわらず、ホモトピー不変でないために、従来理論では制御できない。本研究では、Shane Kelly氏と共に、構造層のコホモロジーの実現関手を構成し、モジュラス付きモチーフの圏が従来理論よりも真に広い表現力を持つことを初めて実証した。(2)：De Rham-Witt複体はp進コホモロジーを生み出す重要な対象であるが、その定義は多数のデータを含み複雑である。本研究では、小泉淳之介氏と共に、モジュラスペアの理論を用いたde Rham-Witt複体の新たな構成を与えた。より正確には、de Rham-Witt複体（のモデル）が、Witt環と乗法群（のモデル）のテンソル積を用いて表されることを示した。さらに、de Rham-Witt複体の種々の構造射が、Witt環と乗法群のモデルに現れる射影直線の自然な自己射から誘導されることも証明した。これによりp進コホモロジーの研究にモチーフ理論の観点から新たなアプローチが可能になる。また上記研究の過程で、相互層の理論を一般底上に拡張した。さらに、モジュラスペアに現れる因子の係数を有理数に拡張し、数論のHasse-Arfの定理のモチーフ的類似という非常に興味深い結果を得た。また、国際研究集会「Motives in Tokyo 2023」をオーガナイザーとして企画し、東京大学大学院数理科学研究科において開催した。