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Sym型Darboux変換による曲面の変換理論とその離散化

使用Sym型达布变换的曲面变换理论及其离散化

基本信息

批准号：
21K13799
负责人：
緒方勇太
金额：
$ 3万
依托单位：
Kyoto Sangyo University (2022)Okinawa National College of Technology (2021)
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
财政年份：
2021
资助国家：
日本
起止时间：
2021-04-01 至 2025-03-31
项目状态：
未结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-21K13799/
关键词：
Darboux 変換 Darboux変換

项目摘要

本研究は，曲面論および可積分系理論において有名なDarboux変換に関する研究である．先行研究で申請者は，リーマン空間形内の双等温曲面に対し，「Sym型Darboux変換」という新たなDarboux変換を定義した．本研究では，Sym型Darboux変換をより深く解析することを目標にする．また，工学的な応用の面から，「離散曲線や離散曲面に対するDarboux変換」の研究も行う．当該年度は，曲面のDarboux変換の研究として，３次元ユークリッド空間内のDelaunay曲面のSym型Darboux変換を考え，その曲面の構成を行った．また，これらのDarboux変換の構成の際には，平坦接続の平行ベクトル場を具体的に構成し，ヤコビの楕円関数や第３種楕円積分を用いた明示公式も導出した．この研究成果については，現在論文を執筆し，投稿中である．一方，今年度は曲面のDarboux変換だけでなく，曲線のDarboux変換の研究も行った．先行研究[F. E. Burstall, U. Hertrich-Jeromin, C. Muller, and W. Rossman, (Geom. Dedicata, 2016)]で述べられているように，曲線のDarboux変換は曲面のDarboux変換と違い，ポラライゼーションと呼ばれる実関数の自由度が存在する．曲線のDarboux変換の研究は，曲面の曲率線の変換を研究することにも繋がり，非常に重要である．本研究では，弧長パラメータを与えるポラライゼーションに対し，曲線のDarboux変換を研究した．また，本研究では離散曲線のDarboux変換についても研究し，円のDarboux変換で閉じる曲線の研究を行った．この研究は，先行研究[M. Kilian, (arXiv ,2015)]の離散化の結果を含み，さらに平面曲線ではない離散空間曲線へと結果を拡張した．これらの研究成果については，現在論文を執筆し，投稿中である．

This study, surface theory および integrable system theory におてて famous なDarboux transformation に relationship する research である. The prior study of the で applicant で, リリリリリリにに <s:1> isothermal surface in <s:1> space shape に pair で, "Sym-type Darboux transformation" とうう new たなDarboux transformation を definition たた. In this study, でで, sym-type Darboux transformation をよ deep く analysis するとをとを target にする. Youdaoplaceholder0, the な応 application of <s:1> surfaces in engineering ら, "discrete curves や discrete surfaces に against するDarboux transformation" <s:1> research <s:1> field う. When the annual は, surface の Darboux variations in の research として, 3 dimensional ユークリッド space の Delaunay surface の Sym type Darboux variations in をえ, その curved line の constitute をった. また, これらの Darboux variations in の constitute の interstate には, flat after 続の parallel ベクトルを specific に constitute し, ヤコビの楕 has drifted back towards ¥ number of masato や third 楕 has drifted back towards ¥ integral を with いた express formula derived もした. The research results of にににてて, the paper is currently being written by を and is in the process of submission である. On the one hand, this year, the research on the だけでなく surface and the Darboux transformation of curves is った. Prior study [F. E. Burstall, U. Hertrich-Jeromin, C. Muller, and W. Rossman, (Geom. Dedicata, 2016)]で said べられてるようにるように Curve の Darboux variations in は surface の Darboux variations in と violations い, ポラライゼーションと shout ばれる be masato number の of freedom がする. The study of the <s:1> Darboux transformation <s:1> of curves and the を of the <s:1> curvature line <s:1> transformation of surfaces and surfaces, as well as the study of するであるとに繋が繋が繋がであるである, is extremely に important である. This study では, arc length パラメータを and えるポラライゼーションにし seaborne, curve の Darboux variations in を research した. また, this study では discrete curve の Darboux variations in についてしも research, has drifted back towards ¥ の Darboux variations in で closed じる curve line の research をった. [はこの research, first research m. Kilian, (arXiv, 2015)] の discretization results のを contain み, さらに plane curve ではない discrete space curve へと results を company, zhang した. The research results of れられられら are にれらててて. Currently, the paper is being written at を and is being submitted at である.