Sym型Darboux変換による曲面の変換理論とその離散化

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本研究は，曲面論および可積分系理論において有名なDarboux変換に関する研究である．先行研究で申請者は，リーマン空間形内の双等温曲面に対し，「Sym型Darboux変換」という新たなDarboux変換を定義した．本研究では，Sym型Darboux変換をより深く解析することを目標にする．また，工学的な応用の面から，「離散曲線や離散曲面に対するDarboux変換」の研究も行う．当該年度は，曲面のDarboux変換の研究として，３次元ユークリッド空間内のDelaunay曲面のSym型Darboux変換を考え，その曲面の構成を行った．また， これらのDarboux変換の構成の際には，平坦接続の平行ベクトル場を具体的に構成し，ヤコビの楕円関数や第３種楕円積分を用いた明示公式も導出した．この研究成果については，現在論文を執筆し，投稿中である．一方，今年度は曲面のDarboux変換だけでなく，曲線のDarboux変換の研究も行った．先行研究[F. E. Burstall, U. Hertrich-Jeromin, C. Muller, and W. Rossman, (Geom. Dedicata, 2016)]で述べられているように，曲線のDarboux変換は曲面のDarboux変換と違い，ポラライゼーションと呼ばれる実関数の自由度が存在する．曲線のDarboux変換の研究は，曲面の曲率線の変換を研究することにも繋がり，非常に重要である．本研究では，弧長パラメータを与えるポラライゼーションに対し，曲線のDarboux変換を研究した．また，本研究では離散曲線のDarboux変換についても研究し，円のDarboux変換で閉じる曲線の研究を行った．この研究は，先行研究[M. Kilian, (arXiv ,2015)]の離散化の結果を含み，さらに平面曲線ではない離散空間曲線へと結果を拡張した．これらの研究成果については，現在論文を執筆し，投稿中である．