葉層付き空間上の各葉拡散過程の確率解析的研究

本研究の主目的は、Euclid空間や多様体上の確率解析から、葉層付き空間上の確率解析へと発展させ、とくに葉層付き空間上の確率流の構成とその性質を明らかにすることである。その目的達成のために今年度取り組んだ研究の概要は以下である。(i)前年度に引き続き、葉層付き空間上で空間パラメータ付きセミマルチンゲールが定める一般化された確率微分方程式を導入し、その解の存在と一意性、およびその解が定める確率流の葉を横断する方向の出発点に関する確率連続性の証明に取り組んだ。前年度の研究により、本問題には局所的な解の張り合わせから大域的な解を構成する際に困難な箇所が現れる予想がついたため、同時進行でその補完として計画していたラフ微分方程式の解が定めるラフ流の葉層付き空間版の構成についても必要な資料収集と考察を行った。しかしいくらか理解不足な部分や手法もあったため、残念ながら今年度中の達成には至らなかった。次年度以降も引き続き資料収集と検証を続ける。(ii)2022年9月に開催されたRIMS共同研究集会「ランダム力学系・非自励力学系研究の展望：理論と応用」に参加し、葉層付き空間上の確率微分方程式の解について本研究課題のきっかけとなったいくつかの成果の発表と情報収集・意見交換を行った。研究集会参加により、本研究課題の目的達成時に得られる確率流はランダム力学系の観点からも興味深い認識が深まり、終盤に計画している葉層付き空間上の確率流の１つの応用先として重要であるという知見を得ることができた。

本研究の主目的は、Euclid空間や多様体上の確率解析から、葉層付き空間上の確率解析へと発展させ、とくに葉層付き空間上の確率流の構成とその性質を明らかにすることである。その目的達成のために今年度取り組んだ研究の概要は以下である。(i)前年度に引き続き、葉層付き空間上で空間パラメータ付きセミマルチンゲールが定める一般化された確率微分方程式を導入し、その解の存在と一意性、およびその解が定める確率流の葉を横断する方向の出発点に関する確率連続性の証明に取り組んだ。前年度の研究により、本問題には局所的な解の張り合わせから大域的な解を構成する際に困難な箇所が現れる予想がついたため、同時進行でその補完として計画していたラフ微分方程式の解が定めるラフ流の葉層付き空間版の構成についても必要な資料収集と考察を行った。しかしいくらか理解不足な部分や手法もあったため、残念ながら今年度中の達成には至らなかった。次年度以降も引き続き資料収集と検証を続ける。(ii)2022年9月に開催されたRIMS共同研究集会「ランダム力学系・非自励力学系研究の展望：理論と応用」に参加し、葉層付き空間上の確率微分方程式の解について本研究課題のきっかけとなったいくつかの成果の発表と情報収集・意見交換を行った。研究集会参加により、本研究課題の目的達成時に得られる確率流はランダム力学系の観点からも興味深い認識が深まり、終盤に計画している葉層付き空間上の確率流の１つの応用先として重要であるという知見を得ることができた。