チェックドルボーコホモロジーの多重超局所解析への応用

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本研究課題の一つとして，青木-片岡による無限階擬微分作用素の表象理論の基礎理論における諸問題の解決が挙げられる．彼らの基礎理論において，作用素のクラスとその表象のクラスの同値性や，作用素の合成と表象の積の両立性といった，基礎理論として構造的に自然に成り立ってほしい性質が未解決であった．これらの問題について，これまでにも青木-本多-山﨑などが解決を行ったが，彼らの結果では高度な技術が要求され，統一的に簡潔な解決は得られなかった．本研究ではこれらの問題に対する解決手法として，チェックドルボーコホモロジーが有効であると予想し，作用素とその表象の同値性や，作用素の合成と表象の積の両立性を解析的に簡潔に記述することで，青木-片岡の基礎理論の統一的な記述を目指した．2022年度の成果としては，無限階擬微分作用素のmicrofunctionへの作用をチェックドルボーコホモロジーの超局所化を用いることで実現した．また，作用素の合成と表象の積の両立性の解決に向けて，超局所化されたチェックドルボーコホモロジーの理論を用いることで作用素の合成や表象の積を具体的に書き下すことには成功したが，これらの両立性を示すには至っていない．また，本研究課題の後半に取り組む予定である，多重超局所解析への応用についても，現在までめぼしい成果は得られていない．以上の成果は，京都大学数理解析研究所（RIMS）や日本大学で2022年度に開催された研究集会の場で発表を行った．