双直交多項式解をもつ離散可積分系系列の研究

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直交多項式には定数倍の任意性があるが，なんらかの規格化をするのが通常であり，正規化（直交定数を1にする）とモニック化（最高次係数を1にする）が典型的である．正規化すると三項間漸化式に対応する三重対角行列が対称行列になり応用上も有用であるが，付随する離散戸田格子の扱いはモニックの方が若干容易である．ただし，どちらの規格化でも出てくる離散戸田格子は本質的に同じものである．今年度は，双直交多項式の場合の規格化の違いで出てくる離散2次元戸田格子がどう変わるか，特に(2, 2)簡約の場合を調べた．一般に(m, n)簡約と呼んでいる特殊化操作をすると(m+n+1)項間漸化式を満たす双直交多項式となり，(1, 1)簡約の場合が直交多項式そのものになる．(2, 2)簡約の場合は直交には落ちずに双直交な多項式列のペアが維持され，これに対応してモニックの場合は互いに双対な離散2次元戸田格子の簡約版2種類が得られる．次に正規化の場合を検討したところ，直交多項式の場合とは違って五項間漸化式に対応する五重対角行列は対称とはならず，少し複雑な見た目をしているが，モニックの場合に現れる2つの系が両方同時に現れるということがわかった．双対な2つの系は五重対角行列の相似変換で互いに移りあえると思うと，直感的には正規化がそのちょうど中間にあるとみなせば自然な結果であると考えられ，面白いとは思うが，今のところ数値計算への応用の道は見えておらず，もう少し研究が必要と考えている．