量子ウォークの二相系における粒子の漸近挙動についての研究

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本研究は、ダイナミクスがサイクルの半周ごとに異なるN-頂点サイクルの上を粒子が推移する量子ウォークを扱うもの、すなわち、有限次元における量子ウォークの二相系についての研究である。特に、その長時間平均分布を解析することにより粒子の漸近挙動を明らかにすることが目的である。上述の目的を達成する手法として、本研究では量子ウォークのスペクトル写像定理を用いる。これは、量子ウォークの時間発展を記述する作用素のスペクトルを、遺伝・発生の固有空間からそれぞれ起因するものに分類し、さらには、より低次元のヒルベルト空間上の離散シュレディンガー型作用素の解析により求めることを可能にする定理である。本研究では既に、有限次元版の束縛状態ともいえるもの、すなわち二相系の境界の上に粒子が高い密度で粒子が現れる状態の存在が固有空間に起因すること、また、そのような空間が存在するための必要十分条件を数学的に証明することに成功していた。新たな実績として、具体的に粒子が境界上に現れる確率の評価、およびこれを無限系とした直線上の量子ウォークの二相系における局在化現象との関係についての定式化が得られた。これは、量子ウォークにおける無限次元上のダイナミクスを有限次元上のものの極限として近似する理論を構成する一つの例となり、当初の研究目的以上の結果に発展する可能性がある。これらをまとめることで、理論面に関しては一つの区切りとなったことから、これまでの内容をまとめた論文の執筆を完了させた。