Mathematical analysis for the complex network structure via topological approaches

点击翻译按钮获取中文摘要

本年は無限次元Stability indexやMaslov indexの性質と，複雑ネットワーク上の拡散方程式および連続極限で現れる非局所方程式とを独立に詳しく調べた．Maslov indexはシンプレクティック幾何学に現れる不変量であるが，これは自己共役な微分作用素の不安定な固有値の個数としか対応させることができない．従って非局所方程式が自己共役か否かがどのような性質によって決定されるかを調べる必要がある．積分核が対称な場合には然るべき関数空間で自己共役作用素となることが知られていたが，対称性が崩れると非自己共役となることがわかった．本結果は関坂(山本)宏子氏との共同研究により得られたもので，反応拡散近似との関係も含めて論文の投稿準備中である．また，ネットワーク上で反応拡散系を考えた場合には，そのネットワーク構造のトポロジーに応じて定数定常解の不安定化のメカニズムが変わることがある．このときいくつかのネットワーク構造に対して，キルヒホッフ条件を接合点での境界条件として持つ場合にMaslov indexやStability indexの枠組みで固有値問題を調べることができることがわかった．Stability indexやMaslov indexの基本的な性質について応用数学勉強会2022および発展方程式における系統的形状解析及び漸近解析：春の学校で連続講演を行った．無限次元Stability indexについて，時空間パターンや非局所方程式に対する固有値問題へ拡張を行った．本研究は関坂(山本)宏子氏との共同研究により得られたもので，2022年度応用数学合同研究集会および日本数学会2023年度年会で講演を行った．