超平面配置の補空間の代数学の探求

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本研究の目的は、超平面配置の補空間の代数的構造を記述する基礎理論を構築することである。特に2022年度の目標は、有理整数環上の超平面配置の特性準多項式の理論を一般化し、代数体の整数環上（あるいは、もっと一般に剰余環が有限であるようなデデキント整域上）の超平面配置の特性準多項式の基礎理論を構築することである。特性準多項式の理論のうち、最も重要で興味深い物は結晶的ルート系に付随する超平面配置の特性準多項式である。超平面配置の定義環を有理整数環から代数体の整数環に拡大することができれば、非結晶的ルート系に関しても同様の議論が展開できるようになるなどの波及効果が見込める。2022年度は研究協力者である日本文理大学の黒田匡迪氏と、定期的に研究打ち合わせを行い、研究を推進した。その結果、特性準多項式の一般化として満たさなけばいけない予期される性質のほとんどを証明することができた。これらの結果はプレプリントとしてまとめて公開済みであり、査読付きの論文誌へ投稿中である。得られた基礎理論を用いて、非結晶的ルート系である H型のルート系に対する特性準多項式を求めてみると、結晶的ルート系に対する特性準多項式と同じようにコクセター数に関する対称性があることが分かった。しかし、なぜこのような現象が起こるのかの理解には至っていない。今後は、なぜ非結晶的な場合にも同様のことが起こるのかということについての理解を得ることを主眼とし、引き続き研究を行う。