測度距離空間の幾何における収束理論

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測度距離空間全体の空間にはボックス距離とオブザーバブル距離という2つの距離が定まる．これらはGromovによって導入された距離であり，ボックス距離は測度距離空間全体の空間における基本的な距離である．また，オブザーバブル距離は測度の集中現象を反映した興味深い距離である．これらの距離に関して，研究代表者の中島は結合分布を用いた表示を得ていた．この表示により，理論・具体計算ともに見通しがよく進めることが可能となった．当該年度においては，塩谷隆氏(東北大学)と数川大輔氏(九州大学)との共同で測度距離空間全体の空間の各種位相的性質を明らかにした．特に，ボックス位相・集中位相の両方に関して，測度距離空間全体の空間が開錐と同相でないという結果は特筆に値する．これはグロモフハウスドルフ距離に関してコンパクト距離空間全体の空間が開錐と同相であるという結果と大きく異なる興味深い結果である．この結果を証明するにあたって鍵となるのは，測度距離空間全体の空間はウリゾーンでないということである．すなわち，測度距離空間全体の空間には閉近傍で分離できない2点が存在する．なお，オブザーバブル位相はボックス位相よりも弱い．他の位相的性質としては，測度距離空間全体の空間は，ボックス位相とオブザーバブル位相のどちらに関しても可縮かつ局所弧状連結であることが分かった．また，どちらに関しても局所コンパクトでないことが分かった．これらの結果に関しては現在論文を投稿中である．