曲面ダイアグラムを用いた曲面結び目・特異曲面結び目の新たな不変量の開発とその応用

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4次元空間内の曲面結び目を3次元空間へ射影した像に，4次元空間での上下の情報を付加したものを曲面ダイアグラムという．2つの曲面ダイアグラムが7種類の局所変形（ローズマン変形という）の有限列で移りあうとき，かつそのときに限り，それらは同じ曲面結び目を表すことが知られている．曲面ダイアグラムから有向曲面結び目の不変量を構成するときは，構成した数量が7種類のローズマン変形の下で不変であることを示せばよいが，7種類のローズマン変形は曲面の上下や向きによって50個の変形に細分化されるため，これをすべて調べ上げることは容易ではない．そこで，この50個の変形を生成するような有向ローズマン変形の部分集合（生成集合という）を決定できれば，不変性の確認作業を単純化することができる．研究代表者は過去の研究で10個の変形からなる生成集合を1つだけ与えている．本年度は一つの変形がどの変形を用いて生成することができるかを視覚的に理解するために50個の頂点を持つ非連結な重み付きグラフを構成した．これにより10個の変形からなる類似の生成集合を複数与えることができた．２）ヴァシリエフが定義した結び目の有限型不変量のアイディアを用いて，ゴリュノフは有向閉曲面から3次元空間へのジェネリック写像に対する次数1の不変量を構成した．曲面ダイアグラム（の上下の情報を無視したもの）はジェネリック写像の像と考えることができ，その特異点集合は二重点，三重点，分岐点からなる．特異点集合の逆像は有向閉曲面にはめ込まれた円周の集まりであり，これを二重デッカー曲線という．ゴリュノフ不変量は平面曲線に対する回転数の類似と考えることができ，本年度はこれを二重デッカー曲線を用いて計算する方法を導入した．