On a maximal element of a moduli space of Riemannian metrics

与えられた多様体上のリーマン計量全体のなす空間を「scalingの差を除いて等長的」という同値関係で割った商空間(リーマン計量のmoduli空間)を考え, この商空間に「等長変換群の大小」によって順序を導入する． この順序に関して極大元を与えるリーマン計量を極大計量と呼び, 研究を行っている. 極大計量はRicci flowなどの様々な計量発展方程式の自己相似解の例を供給してくれる興味深い対象である． 本年度は特に, 「与えられた(可解)Lie群がいつ左不変な極大計量を許容するか」という問題に焦点を絞って研究を行った. これまでの研究で, unimodular完全可解Lie群Gが左不変な極大計量を許容するための必要十分条件を(Gから決まる, ある種の群作用の言葉で)与えることができていた. その必要十分条件を深く考察することにより,(1) unimodular完全可解Lie群Gが左不変な極大計量を許容するためには, Gが2-step可解Lie群であることが必要であることが分かった. また， このこと(と, 左不変Ricci solitonに関する種々の先行研究を組み合わせること)により, 左不変な極大計量を許容する非べき零unimodular完全可解Lie群のシンプルな特徴付けを得た(ユークリッド空間の部分ベクトル空間であって, 既約置換表現を許容するものと一対一に対応する).(2) べき零Lie群Gが左不変な極大計量を許容するためには, Gが2-stepべき零Lie群であることが必要であることが分かった. また, 左不変な極大計量を許容するべき零Lie群の新たな具体例を得た.これらの結果を3月に大阪公立大学で行われた国際研究集会にて発表した.

与えられた多様体上のリーマン計量全体のなす空間を「scalingの差を除いて等長的」という同値関係で割った商空間(リーマン計量のmoduli空間)を考え, この商空間に「等長変換群の大小」によって順序を導入する． この順序に関して極大元を与えるリーマン計量を極大計量と呼び, 研究を行っている. 極大計量はRicci flowなどの様々な計量発展方程式の自己相似解の例を供給してくれる興味深い対象である． 本年度は特に, 「与えられた(可解)Lie群がいつ左不変な極大計量を許容するか」という問題に焦点を絞って研究を行った. これまでの研究で, unimodular完全可解Lie群Gが左不変な極大計量を許容するための必要十分条件を(Gから決まる, ある種の群作用の言葉で)与えることができていた. その必要十分条件を深く考察することにより,(1) unimodular完全可解Lie群Gが左不変な極大計量を許容するためには, Gが2-step可解Lie群であることが必要であることが分かった. また， このこと(と, 左不変Ricci solitonに関する種々の先行研究を組み合わせること)により, 左不変な極大計量を許容する非べき零unimodular完全可解Lie群のシンプルな特徴付けを得た(ユークリッド空間の部分ベクトル空間であって, 既約置換表現を許容するものと一対一に対応する).(2) べき零Lie群Gが左不変な極大計量を許容するためには, Gが2-stepべき零Lie群であることが必要であることが分かった. また, 左不変な極大計量を許容するべき零Lie群の新たな具体例を得た.これらの結果を3月に大阪公立大学で行われた国際研究集会にて発表した.