自由確率論における極限定理の研究とそのランダム行列への応用

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Wojciech Mlotkowski, 堀田一敬, 佐久間紀佳と, 自由擬無限分解可能分布 (自由確率論におけるレヴィ=ヒンチン型表現のうちレヴィ測度の部分を符号付き測度まで許した分布)に関する研究を行った. 2022年度はFuss-Catalan分布の自由擬無限分解可能性について調べることに成功した. これはFuss-Catalan分布に関するMlotkowskiと佐久間との過去の共同研究で未着手であった部分を解決するものである. 本結果は既に準備していた論文に加筆し, 現在投稿中である.長谷部高広, 野場啓, 佐久間紀佳と, ブール独立性のもとで定義される自己分解可能分布の正則性や正規分布のブール自己分解可能性について調べた. その中で, 標準正規分布はブール自己分解可能であるが, 正規分布の平均が十分大きいときそのブール自己分解可能性が破れるという, 古典・自由確率論では起こらない現象を発見した.長谷部高広との研究で, 正規分布の自由レヴィ測度の漸近形を得た. 本結果は論文としてまとめた.藤江克徳との研究で, 有限自由確率論における乗法的たたみこみによる多項式の大数の法則を証明した. この結果は, HaagerupとMoellerの自由乗法的たたみこみによる大数の法則の離散近似版とも言える結果だが, 証明法は基本対称式を用いた基本的なものであり, HaagerupとMoellerの証明で扱ったようなS変換の解析的な議論を必要としないことを強調したい. 本研究は国際雑誌SIGMAに既に掲載済みである. またこの研究に続き, Octavio Arizmendiと藤江克徳と有限分割に関する組合せ論的公式, 佐久間・吉田の極限定理の離散版, Kabluchkoの極限定理の別証明を与えた. この結果は論文としてまとめ, 現在投稿中である.