強擬凸領域上のCheng-Yau計量と境界上のCR幾何の研究

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本研究の目的は，有界強擬凸領域上のCheng-Yau計量に代表される完備Einstein計量と，その無限遠境界であるCR多様体との間の幾何学的な結びつき・対応を明らかにすることであった．本年度の研究では，この目的に対する直接的な進展ではないものの，密接に関連する話題に関して成果を得た．具体的には，実解析的3次元共形多様体に付随する，ツイスターCR多様体と呼ばれる特殊なCR多様体のクラスに対して，アンビエント計量やCheng-Yau計量を構成・記述した．ツイスターCR多様体は，5次元のLorentz CR多様体で，Penroseのツイスター理論において時空内の光線の集合として現れるなど，重要なCR多様体のクラスとなっている．実解析的3次元共形多様体は，反自己双対Poincare-Einstein多様体の共形無限遠として実現できることがLeBrunによって証明されており，ツイスターCR多様体はこのPoincare-Einstein多様体のツイスター空間に自然に埋め込むことができる．今年度の研究で構成したツイスターCR多様体のアンビエント計量は，反自己双対Poincare-Einstein多様体のスピノル束の全空間から零切断を除いた空間上の，ニュートラル符号をもつhyperkahler計量になっている．これは，特殊な幾何構造に付随する共形多様体のアンビエント計量が特殊ホロノミーをもつ，という現象の一例である．また，ツイスターCR多様体を無限遠境界にもつCheng-Yau計量は，反自己双対Poincare-Einstein多様体へのRiemann沈めこみをもつ計量になることが分かった．