一般化されたマシュー方程式とその離散方程式の精密解析

本研究では、関数方程式の大域解を振動解（常に符号変化する）と非振動解（常に正または負）に分類する問題（振動問題）に取り組んでいる。令和4年は、その振動問題に関する以下のテーマについての研究成果を得た。(1)非周期的な有界関数を係数にもつマシュー型方程式の解の振動性：通常のマシュー方程式は周期関数を係数にもつ。このテーマでは、マシュー方程式の係数を非周期的な有界関数に拡張した。また、その一般化したマシュー型方程式のすべての非自明解が振動または振動しないことを保証する十分条件を導出した。(2)非線形マシュー型方程式の解の非振動性：1次元pラプラス作用素を有する非線形マシュー型方程式のすべての非自明解が非振動解をもつための判定条件を導出した。特に、p=2の場合は、線形に対するマシュー方程式の非振動定理と一致することが判明している。非振動定理の証明は、振動問題でよく使うリッカチ変換法を駆使した。(3)比例微分制御を利用した減衰線形方程式の解の非振動性：近年、制御理論に登場する比例微分制御の式を微分演算子として採用された線形方程式の定性的理論の研究が流行している。流行を先取り、このテーマでは、その微分演算子をもつ線形方程式のすべての非自明解が振動しないことを保証する十分条件を得た。特に、この非振動定理は、制御工学に応用をもつマシュー方程式やウィッタカー・ヒル方程式に適用可能となる。(4)常微分方程式と差分方程式の解の類似性や相違性：このテーマでは、振動・非振動の観点から、1次元pラプラス作用素を有する非線形微分方程式と非線形差分方程式の解構造の類似性に着目した。実際に、両者のすべての非自明解が振動しないことを保証する十分条件を与えることができた。その非振動条件の特徴として、タイムスケールという新たな概念により、非線形微分方程式と差分方程式の非振動条件は統一できる。

本研究では、関数方程式の大域解を振動解（常に符号変化する）と非振動解（常に正または負）に分類する問題（振動問題）に取り組んでいる。令和4年は、その振動問題に関する以下のテーマについての研究成果を得た。(1)非周期的な有界関数を係数にもつマシュー型方程式の解の振動性：通常のマシュー方程式は周期関数を係数にもつ。このテーマでは、マシュー方程式の係数を非周期的な有界関数に拡張した。また、その一般化したマシュー型方程式のすべての非自明解が振動または振動しないことを保証する十分条件を導出した。(2)非線形マシュー型方程式の解の非振動性：1次元pラプラス作用素を有する非線形マシュー型方程式のすべての非自明解が非振動解をもつための判定条件を導出した。特に、p=2の場合は、線形に対するマシュー方程式の非振動定理と一致することが判明している。非振動定理の証明は、振動問題でよく使うリッカチ変換法を駆使した。(3)比例微分制御を利用した減衰線形方程式の解の非振動性：近年、制御理論に登場する比例微分制御の式を微分演算子として採用された線形方程式の定性的理論の研究が流行している。流行を先取り、このテーマでは、その微分演算子をもつ線形方程式のすべての非自明解が振動しないことを保証する十分条件を得た。特に、この非振動定理は、制御工学に応用をもつマシュー方程式やウィッタカー・ヒル方程式に適用可能となる。(4)常微分方程式と差分方程式の解の類似性や相違性：このテーマでは、振動・非振動の観点から、1次元pラプラス作用素を有する非線形微分方程式と非線形差分方程式の解構造の類似性に着目した。実際に、両者のすべての非自明解が振動しないことを保証する十分条件を与えることができた。その非振動条件の特徴として、タイムスケールという新たな概念により、非線形微分方程式と差分方程式の非振動条件は統一できる。