全空間上の圧縮性Navier-Stokes方程式の時間周期解の安定性問題

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私の研究分野は非線形偏微分方程式の数学解析である. これまでに流体力学の基礎方程式である圧縮性および非圧縮性Navier-Stokes方程式の研究を行ってきた. これらの方程式系は, 解の存在, 一意性, 正則性, 安定性や漸近挙動などの偏微分方程式論におけるさまざま基本的課題を提供してきた方程式系であり, 豊かな数学的構造を備え，多様な物理学・工学的応用を有している. Navier-Stokes方程式はクレイ研究所のミレニアム問題に代表されるようにその数学的理論の深遠さゆえまだまだ未解決の部分が多く, 現在でも活発に研究されている. 時間周期的な流れは流体運動における基本的な現象であり, 多くの研究がなされてきたが, 一般にその解析は流れが無い静止状態の解析よりも難しくなる.　例えば, 安定性解析や, 領域が周期的に動く場合に発生する時間周期的流れを考えた場合，解の挙動を支配する線形化作用素(線形部分)が変数係数になるため, その線形作用素の解析に困難が生じて, いまだに解明されていないことが多い. そこで本研究では圧縮性Navier-Stokes方程式について強解が存在するための条件を数学的に詳しく明らかにするために,非有界領域における時間周期解の安定性を調べ, 最適な時間減衰評価の導出を目指す.　今年度はNavier-Stokes方程式に対して，領域が周期的に動く移動境界問題を考察し， ドイツ・ダルムシュタット工科大学のFarwig教授との共同研究により, 移動境界の初期値問題を作用素の半群理論で解くことに成功した. 応用として, 先行研究で得られた時間周期解の正則性を示した.さらに非有界領域での研究成果も得られ, 一連の研究成果を国内大規模の微分方程式関連の研究集会である「微分方程式の総合的研究」で招待講演した.