動的境界条件の下で微生物・化学物質の影響を考慮した流体方程式の適切性理論の確立

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本年度は主に1次元の場合について，本研究で対象としている偏微分方程式系に対する解の適切性に関する数学解析と数値シミュレーションを行った．数学解析に関しては，解の1次元での存在性に関して研究した．1次元ではNavier-Stokes方程式とのカップリングがなくなり移流拡散方程式のみを対象とすることができ，解析がしやすくなる．また，1次元での知見は高次元の場合に大いに役立つ．本研究で取り扱っている境界条件はDirichlet-Neumann境界条件から周期境界条件へ時間とともに遷移していく．このような境界条件での適切性の結果は線型の場合でも知られていないため，本年度はこれを対象として解析を行った．線型解析として発展作用素の構成と最大正則性の導出の２つを行った．前者ではレゾルベント問題の境界条件が時間に依存する場合にレゾルベンと評価を行い，線形化問題の発展作用素の枠組みでの解の存在性を証明した．後者では，時間を固定するごとのレゾルベント評価を導出し，作用素解析を援用することでLp-Lqフレームワークでの最大正則性評価を導出し，最大正則性のクラスでの時間局所解の存在を証明した．これらの結果はFourier解析と組み合わせることで高次元層状領域へ比較的容易に応用することができると期待できる．Banachの不動点定理を援用し非線形の場合の時間局所解を構成した．アプリオリ評価を確立し，時間大域解の存在を証明した．数値シミュレーションシステムの開発を行なった．これにより可視化を行うとともにモデリングの妥当性を検証した．本件で対象としている方程式は被食者捕食者モデルに基づく．バクテリアに対応する捕食者の成長率と目詰まり原因物質に対応する捕食者の外力との関係性を複数のパラメータセットで探索した．概ね期待通りの結果が得られている．これらの結果をまとめ論文として投稿準備である．