量子ウォークの定常性、局在性、再帰性の数理的構造の解明およびその応用

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本研究課題は量子ウォークの数理的構造を明らかにすることを目的としており、今年度は以下の二つの課題に取り組んだ。(1)今野紀雄氏(横浜国立大学)と佐藤巌氏(小山工業高等専門学校)との共同研究で、量子ウォークとグラフゼータ関数の関係性を明らかにすることを目的に研究をおこなった。Grover/Zeta対応で得た結果のポイントは今野・佐藤の定理を使った極限の意味で、無限グラフ上の2種類のゼータ関数の明示公式が求まった点であり、Chinta et al.や Clairが得た伊原の公式の表現と一致している。本年度は、これらの結果が量子ウォークにとどまらず、古典ランダムウォーク、相関付きランダムウォークなどまでに拡張できたことにある。この結果はJournal of Statistical Physics(JSP)に掲載された。その他にも、量子ウォークとマーラー測度との関係を述べた結果がQuantum Information Processingに、Vertex-Faceウォークとグラフゼータ関数の対応関係はJournal of Algebraic Combinatoricsに掲載された。(2) 二つ目の課題は、量子ウォークの定常性に関する研究である。マルコフ過程で得られている一般論を量子ウォークに対して構築するにあたって、量子ウォークの定常測度を明らかにすることが第一歩となる。本年度は1次元格子上の2状態量子ウォークについて考察し、固有値問題から誘導される定常測度の集合を求めた。量子ウォークの固有値問題から定まる定常測度は多項式タイプ、有界タイプ、指数タイプの3つに分類されることがわかった。さらに、有界タイプの定常測度の中には、空間的に周期性をもった測度が存在することがわかった。得られた結果と古典ランダムウォークの定常測度との対応関係が明確になった。これらの結果はJSPに掲載された。