Global analysis of mathematical models with conservation law by semi-analytic methods using the elliptic functions

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2022年度は主に、本研究課題の目標であった、(A)「非局所Allen-Cahn方程式（Allen-Cahn-Nagumo方程式）の２次分岐後の分岐の方向，解の安定性の解明」と(B)「非局所Fix-Caginalp方程式の大域的解構造の解明」に関する実績を得ることができた。(A)に関する実績について述べる。(A)を直接に解析するのではなく、本質的に似ている部分を持つ問題である積分制約条件付き細胞極性モデルの解析を行うことで、(A)の２次分岐分岐の方向の計算方法の見通しがついた。積分制約条件付き細胞極性モデルの解析では、大域的解構造を示す曲面のパラメータ表示を構成した。構成の際、直感的にパラメータ表示を構成すると、無限のパラメータ領域が１点に集約されるような特異点が現れるが、パラメータ空間を分けて、対称性を用いて再構成することで、特異点を持たないパラメータ表示式を導出することができた。このパラメータ表示式を応用することで(B)の２次分岐分岐の方向を合成関数の微分とパラメータ表示式の微分を用いて計算できることがわかった。なお、上記の積分制約条件付き細胞極性モデルに関する結果は論文で発表を行った。(B)に関する実績について述べる。(B)の問題の解の存在・非存在については１次元に注目したとしても、部分的な結果が約20年前に得られているのみで、解の存在・非存在の必要十分条件は技術的に難しい問題である。しかし、本研究課題で主として取り扱う楕円関数と楕円積分を用いた半解析的な手法によって、解の存在・非存在の必要十分条件を明らかにすることができた。さらにこの問題においても２次分岐が起こることを示すことができた。内容は論文でまとめ、発表した。