グラフの直線埋込問題および関連する計算幾何学・離散幾何学の問題に関する研究

研究代表者は前年度、「3本のrooted treeからなるrooted forest Fは任意に与えられた平面上の|F|個の点の集合上に、rootの像となる3点を任意に指定しても直線埋め込み可能である」という加納-金子の予想に対し、反例を構成することにより否定的な解決を与えた。さらに条件を少し弱め、rootの像となる3頂点の交換を許せば、予想の結果が成立することを証明した。本年度はこの結果を発展させ、一般にk本のrooted treeからなるrooted forestに対し同様の命題が成り立つかどうか、という問題を主に研究した。その結果、k=4,5の場合およびrootの像となる点の配置が凸である場合について問題を肯定的に解決する目処が立ち、現在証明の細部の検証を続けつつ、一般の場合の証明法についても検討しながら論文を作成中である。また、「平面上の2点の点集合を同色の辺を結ぶ独立な線分によって結ぶ際、どのくらい多くの点を結ぶことが保証されるか」という問題についても研究した。これは「頂点の位置が指定された2つの幾何グラフが最大次数1でかつ辺の交差を持たないとき、保証される最大辺数はどのくらいか」という問題と同値であり、以前研究代表者が2つの幾何グラフの交差数の問題に関連して証明した結果を応用することができる。現在のところ、全体の80%以上の点が常に結べるが判明しており、目下改良を模索中である。また昨年から今年にかけて秋山、金子、加納、中村、Rivera-Campo、Urrutiaと討論した凸図形の完全分割に関する結果が離散幾何の国際会議JCDCG'98のProceedingsの形で発表された。

研究代表者は前年度、「3本のrooted treeからなるrooted forest Fは任意に与えられた平面上の|F|個の点の集合上に、rootの像となる3点を任意に指定しても直線埋め込み可能である」という加納-金子の予想に対し、反例を構成することにより否定的な解決を与えた。さらに条件を少し弱め、rootの像となる3頂点の交換を許せば、予想の結果が成立することを証明した。本年度はこの結果を発展させ、一般にk本のrooted treeからなるrooted forestに対し同様の命題が成り立つかどうか、という問題を主に研究した。その結果、k=4,5の場合およびrootの像となる点の配置が凸である場合について問題を肯定的に解決する目処が立ち、現在証明の細部の検証を続けつつ、一般の場合の証明法についても検討しながら論文を作成中である。また、「平面上の2点の点集合を同色の辺を結ぶ独立な線分によって結ぶ際、どのくらい多くの点を結ぶことが保証されるか」という問題についても研究した。これは「頂点の位置が指定された2つの幾何グラフが最大次数1でかつ辺の交差を持たないとき、保証される最大辺数はどのくらいか」という問題と同値であり、以前研究代表者が2つの幾何グラフの交差数の問題に関連して証明した結果を応用することができる。現在のところ、全体の80%以上の点が常に結べるが判明しており、目下改良を模索中である。また昨年から今年にかけて秋山、金子、加納、中村、Rivera-Campo、Urrutiaと討論した凸図形の完全分割に関する結果が離散幾何の国際会議JCDCG'98のProceedingsの形で発表された。