複素領域における線型・非線型フックス型偏微分方程式

复域中的线性和非线性 Fuchsian 偏微分方程

• 批准号: 10740074
• 负责人: 山根 英司
• 金额: $ 0.83万
• 依托单位: Chiba Institute of Technology
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
• 财政年份: 1998
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 1998 至 1999
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-10740074/
• 关键词: フックス型偏微分方程式; 分岐コーシー問題; 整関数; 積分表示; 解析接続; フックス型

1.ウェイトが1の2階Fuchs型偏微分作用素で,2つの特性曲面が接するものa(x,D)を考える.正則関数のカテゴリーではa(x,D)に関するCauchy問題が一意可解である.非斉次Cauchy問題において,方程式の右辺が特性曲面の周りに無限多価の場合を考察する.この種の問題は分岐Cauchy問題(ramified Cauchy problem)と呼ばれ,複素領域の偏微分方程式論における中心的な問題である.解は特性曲面の回りにいくらでも解析接続できることが分かる.解を構成するために,フーリエ積分作用素の理論に倣い,多重相関数を用いて解の積分・級数表示を与える.積分の第m項がm次元特異単体の上のm-形式の積分になっている.作用素の形から,被積分関数は有理型,したがって非有界になるのが難しいところである.トポロジーの技法で単体を曲げることによって解を解析接続する.2.整関数に対するFuchs型Cauchy問題を解こう.整関数を係数にもつm階線形編微分作用素Pを考える.PはFuchs型であり,Fuchsian principal partは定数係数とする.また,最高階の部分の係数は適当な次数の多項式とする.Fuchsian prinipal partに属さない低階の部分の係数は整関数であればよく,増大度の条件は不要である.確定特異点型常微分方程式の理論に倣って特性指数を定義し,しかるべき条件を課す.このとき,初期データと方程式の右辺が整関数であるようなCauchy問題を考えるとその解がやはり整関数となることが分かる.証明はBaouendi-Goulaouicにしたがって逐次近似法を用いる.低階項の影響がないことを示すのにあるトリックを用いたが,これは他の多くの問題に応用できることが見込まれる.

1. Youdaoplaceholder0 トが トが1 and 2 order Fuchs-type partial differential action elements で,2 ウェ <s:1> characteristic surfaces が connected to する <e:1> を a(x,D)を test える. The regular relation number is カテゴリ カテゴリ で で で a(x,D)に relation する the Cauchy problem が is solvable at will である. Cauchy problem of 斉 times に お い て, the equation is の right 辺 が feature surface の weeks り に infinitely many 価 の occasions を investigation す る. こ の の problem は branching Cauchy problem (ramified Cauchy problem) と shout ば れ, complex element field の theory of partial differential equations に お け な る center で あ る. Solution は feature surface の back り に い く ら で も parsing by 続 で き る こ と が points か る. Solution を constitute す る た め に, フ ー リ エ に imitation い の integral action element theory, the multiple phase number of masato を using い て の integral solution series said を and え る. Integral <s:1> integral of the <s:1> m-form <s:1> on the が m-dimensional special 単 body <e:1> of the MTH term が る. Role element の form か ら, integral rational type, number of masato は し た が っ て not bounded に な る の が difficult し い と こ ろ で あ る. ト ポ ロ ジ ー の techniques で 単 body を qu げ る こ と に よ っ て solution を parsing by 続 す る. 2. Type the whole number of masato に す seaborne る Fuchs Cauchy problem を solution こ う. Coefficient of the whole number of masato を に も つ m order linear encoding differential effect element P を exam え る. P は Fuchs type で あ り, Fuchsian principal Part は constant coefficient と す る. ま た, top part の は な appropriate times の の coefficient polynomial と す る. Fuchsian prinipal part に genus さ な い low-order の part の coefficient は masato number で あ れ ば よ く, raised magnanimous は の conditions don't で あ る. Determine the specific point type theory of ordinary differential equation is の に imitation っ て feature index を し; し か る べ を class す き conditions. こ の と き, early デ ー タ と equation is の right 辺 が masato number で あ る よ う な Cauchy problem を exam え る と そ の solution が や は り masato number と な る こ と が points か る. Prove that the たがって Baouendi-Goulaouicに たがって successive approximation method を uses に る. Low order term の influence が な い こ と を shown す の に あ る ト リ ッ ク を with い た が, こ れ は he の く の problem に 応 with で き る こ と が see 込 ま れ る.

项目成果

山根英司: "Ramified cauchy problem for a class of Fuchsian operartors with tangent characteristics"Jourmal de Mathematiques Pures et Appliquees. (発表予定).

Eiji Yamane：“具有切线特征的一类 Fuchsian 算子的分支柯西问题”Jourmal de Mathematiques Pures et Appliquees（即将发表）。

山根英司: "Global Fuchsian Cauchy problem"Jourmal of Mathematical Sciences, University of Tokyo. (発表予定).

Eiji Yamane：“全局 Fuchsian Cauchy 问题”，东京大学数学科学杂志（待发表）。