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非均質媒質中における反応拡散方程式の遷移層を持つ解の安定性に関する研究

异质介质中反应扩散方程过渡层解的稳定性研究

基本信息

批准号：
22913001
负责人：
浦野道雄
金额：
$ 0.19万
依托单位：
Waseda University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Encouragement of Scientists
财政年份：
2010
资助国家：
日本
起止时间：
2010 至无数据
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-22913001/
关键词：
反応拡散方程式パターン形成定常問題

项目摘要

現実世界における現象を数理モデルに還元すると,非線形の微分方程式系が得られる場合が多い.得られた微分方程式を数学的に解析することは,現象のメカニズムの解明に対して非常に重要な役割を果たす.様々な現象の中でも,本研究で取り扱った反応拡散方程式と呼ばれる微分方程式は,物質の拡散を伴う現象を記述するモデルである.反応拡散方程式に対する数学的研究の対象は多岐に渡るが,本研究では,定常解のパターンおよびその安定性に的を絞って研究を進めることとした.実際に取り扱った方程式は,u_t=ε^2(d(x)^2u_x)_x+h(x)^2u(1-u)(u-1/2) (0<x<1,t>0) (E)という空間非一様性を伴う1次元の反応拡散方程式である.境界条件としては,斉次ノイマン境界条件を採用した.ここで,εは正のパラメータを表し,d.hは十分滑らかな正値関数である.方程式(E)は,εが十分小さいとき,遷移層と呼ばれる特徴的な形状部分を有する定常解を持つことが知られている.本研究においては,遷移層を有する定常解を対象に,その全てのパターンを明らかにするとともに,それらのパターンの安定性について議論した.一般に,解の形状と安定性の間には密接な関係があることが知られており,この関係を明らかにするための研究が盛んに行われている.本研究においても,解のパターンがその安定性に与える影響を明らかにすることが最大の目的であった.安定性の議論を行う際には,対応する線形化固有値問題を考え,固有値の振る舞いを調べる方法が一般的である.本研究でもこの方法に倣い,固有値の評価を厳密に行った.対象となる固有値問題の解析にはスツルムリウビル理論が非常に有効であった.本研究で得られた成果は,以下の定理に集約される:定理.u^εを遷移層を有する(E)の定常解とする.ψ(x)=d(x)h(x)とするとき,次が成立する:(i)u^εの持つ遷移層がすべてψの極小点の近傍にあるとき,u^εは安定である.(ii)u^εの遷移層がψの極大点の近傍に現れるとき,u^εは不安定である.さらにu^εのモース指数は,極大点の近傍に現れる遷移層の総数以上となる.

In the present world, mathematical phenomena occur in many cases, and nonlinear differential equations are obtained in many cases. The mathematical analysis of differential equations is very important. In this study, the dispersion equation and differential equation are used to describe the dispersion phenomenon of matter. The mathematical study of inverse dispersion equations is aimed at the study of steady-state solutions and stability. In practice, we take the equation u_t=ε^2(d(x)^2u_x)_x+h(x)^2u(1-u)(u-1/2) (0<x<1,t>0) (E). The condition of the boundaryここで,εは正のパラメータを表し,d.hは十分滑らかな正値関数である. Equation (E): ε is very small, the shape of the migration layer is characteristic of the steady state solution. In this study, the migration layer has a steady state solution to the problem, and the stability of the whole system is discussed. General, the shape of the solution and the stability of the relationship between close contact, such as knowledge, such relations, such as clear, such as research, such as full line. The purpose of this study is to solve the problem of stability and influence on the stability of the system. The stability of the discussion in the line, the linear inherent value of the problem, the inherent value of the vibration, the method of tuning, the general. This study is based on the methodology, inherent value and evaluation. The analysis of the inherent problems The results of this study are summarized as follows: Theorem.u^ε, migration layer, steady state solution.φ (x)=d(x)h(x) (ii)u^ε migration layer. The index of migration is higher than the total number of migration layers near the maximum point.