非均質媒質中における反応拡散方程式の遷移層を持つ解の安定性に関する研究

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現実世界における現象を数理モデルに還元すると,非線形の微分方程式系が得られる場合が多い.得られた微分方程式を数学的に解析することは,現象のメカニズムの解明に対して非常に重要な役割を果たす.様々な現象の中でも,本研究で取り扱った反応拡散方程式と呼ばれる微分方程式は,物質の拡散を伴う現象を記述するモデルである.反応拡散方程式に対する数学的研究の対象は多岐に渡るが,本研究では,定常解のパターンおよびその安定性に的を絞って研究を進めることとした.実際に取り扱った方程式は,u_t=ε^2(d(x)^2u_x)_x+h(x)^2u(1-u)(u-1/2) (0<x<1,t>0) (E)という空間非一様性を伴う1次元の反応拡散方程式である.境界条件としては,斉次ノイマン境界条件を採用した.ここで,εは正のパラメータを表し,d.hは十分滑らかな正値関数である.方程式(E)は,εが十分小さいとき,遷移層と呼ばれる特徴的な形状部分を有する定常解を持つことが知られている.本研究においては,遷移層を有する定常解を対象に,その全てのパターンを明らかにするとともに,それらのパターンの安定性について議論した.一般に,解の形状と安定性の間には密接な関係があることが知られており,この関係を明らかにするための研究が盛んに行われている.本研究においても,解のパターンがその安定性に与える影響を明らかにすることが最大の目的であった.安定性の議論を行う際には,対応する線形化固有値問題を考え,固有値の振る舞いを調べる方法が一般的である.本研究でもこの方法に倣い,固有値の評価を厳密に行った.対象となる固有値問題の解析にはスツルムリウビル理論が非常に有効であった.本研究で得られた成果は,以下の定理に集約される:定理.u^εを遷移層を有する(E)の定常解とする.ψ(x)=d(x)h(x)とするとき,次が成立する:(i)u^εの持つ遷移層がすべてψの極小点の近傍にあるとき,u^εは安定である.(ii)u^εの遷移層がψの極大点の近傍に現れるとき,u^εは不安定である.さらにu^εのモース指数は,極大点の近傍に現れる遷移層の総数以上となる.