ベルヌーイ数とフィボナッチ数の関係について

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研究目的:2009年に得ることができた次の公式:((1+√<5>)/2)^n=1/(n+1)Σ^^<n+1>__<m=0>(-√<5>)^m_<n+1>C_mB_mf_<n+1-m>(ただしf_nはフィボナッチ数列の一般項であり、B_mはベルヌーイ数の一般項である)を一般化し、一つ目の目的は、この公式の左辺をリュカ数列と関連付け、リュカ数列とベルヌーイ数およびフィボナッチ数の間の漸化式を明らかにすることによって、より精密化した公式を得ることが目的である。二つ目の目的は、多重ベルヌーイ数とベルヌーイ数の間にある漸化式が成立し、さらに多重ベルヌーイ数と第二種スターリング数との間に関係式が成り立つという事実を、上記の公式を適用することにより、多重ベルヌーイ数とフィボナッチ数列の関係に拡張することが研究目的である。研究方法:フィボナッチ数列やリュカ数列およびベルヌーイ数における先行研究論文および資料にあたり、理論的な枠組みを把握する。さまざまな学術会議に参加し、最新の多重ベルヌーイ数の研究理論を把握する。研究成果:一つ目の目的である「より精密化した公式」を得ることは不可能であった。二つ目の目的である多重ベルヌーイ数とフィボナッチ数列の関係へ拡張することは困難であった。しかしその副産物として得られたものとして、3辺の長さが等差数列をなす三角形とその面積の一般形がペル方程式の一般解に帰着されることを証明した。また、同様にペル方程式を研究することにより、ある実数が存在して、その実数の自然数乗を自然数で割った数の整数部分は必ず平方数になることを証明した。この結果は平方数の振る舞いについて、精査された結果である。