結び目理論の観点からの平面グラフの面構造に関する研究

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Jeongの論文(Discrete Mathematics 1995)で考察された"4-正則連結単純平面グラフが直進Euler回路を持つための面ベクトルの条件"は,Grunbaumによる"多面体存在に関するEberhard型問題"に端を発し,グラフ理論の話題として言及されることが多い.しかし,近年はEliahou-Harary-Kauffman(J. Knot Theory Ramifications 2008)やAdams-Shinjo-Tanaka(Annals of Combinatorics 2011)など,直進Euler回路を結び目の射影図と読み替えて,位相幾何学の問題として研究されている.オイラーの多面体公式から与えられる十分条件は結び目射影図を持つための必要条件にもなりうることは既に証明されていることであるが,本研究ではGrunbaumの定理の改良による別証明を与えた.また,この方向の考察では4角形の個数の決定ができないのだが,生成定理を用いて,面ベクトルが3,4,5角形だけから成る場合の4角形の個数に関する必要十分条件を与えた.また本研究の副産物として,Demaine-Eppstein-Hart-O'Rourke(Discrete Geometry 2003)により導入された多面体の頂点展開図(展開図が辺ではなく頂点のみで接続することを許す)に関する定理を得た.先行研究ではすべての面が3角形だけから成る多面体においてしか頂点展開図を持つことが示されていなかったが,4角形以上の面があっても,それらが接触しないならば頂点展開図を持つことが示された.