高重複度の定常ヴァリフォールドと自由境界の正則性

平成12年度には、燃焼理論に応用される特異極限問題、Pompeiu問題に応用できる二相障害物問題および体積条件のついた最小化問題についての結果を得た。1)炎の伝播のモデルとして使われた方程式α_t2u_ε-Δu_ε=β_ε(u_ε),β_ε(s)=1/εβ(s/ε),β∈C^1_0([0,1]),β>0in(0,1)の解u_ε_mがε_m〓0のとき、極限問題の、領域変分の意味での解に収束することを証明できた。なお、自由境界の非退化特異集合はrectifiableな集合であることも示せた。さらに、D.Jerisonとの共同研究で、2次元の定常問題の場合、極限は超関数の意味での解にもなることがわかった。帰結として、領域変分の意味での解という概念は、超関数の意味での解という概念より強い。2)二相障害物問題Δu=fχ_Ω,u=∇u=0onΩ^cの解uの正則性に関して、(符号なしの)fがDini条件をみたせば、Ωの境界の各点において解が二次の増大があることを示せた。3)二つの体積条件のついた自由境界問題a)u【greater than or equal】0,Δu=0inΩ∩{u>0},|∇u|がΩ∩α{u>0}上定数であり, L^n(Ω∩{u>0})=c.b)0【less than or equal】υ【less than or equal】1,Δυ=0inΩ∩{0<υ<1},|∇υ|がΩ∩α{υ>0}上定数であり,|∇υ|がΩ∩α{υ<1}上定数であり,L^n(Ω∩{υ=0})=c_1,L^n(Ω∩{υ=1})=c_2.に関して、数値解を求める新しいアプローチ、つまり曲面勾配流を提案した。

平成12年度には、燃焼理論に応用される特異極限問題、Pompeiu問題に応用できる二相障害物問題および体積条件のついた最小化問題についての結果を得た。1)炎の伝播のモデルとして使われた方程式α_t2u_ε-Δu_ε=β_ε(u_ε),β_ε(s)=1/εβ(s/ε),β∈C^1_0([0,1]),β>0in(0,1)の解u_ε_mがε_m〓0のとき、極限問題の、領域変分の意味での解に収束することを証明できた。なお、自由境界の非退化特異集合はrectifiableな集合であることも示せた。さらに、D.Jerisonとの共同研究で、2次元の定常問題の場合、極限は超関数の意味での解にもなることがわかった。帰結として、領域変分の意味での解という概念は、超関数の意味での解という概念より強い。2)二相障害物問題Δu=fχ_Ω,u=∇u=0onΩ^cの解uの正則性に関して、(符号なしの)fがDini条件をみたせば、Ωの境界の各点において解が二次の増大があることを示せた。3)二つの体積条件のついた自由境界問題a)u【greater than or equal】0,Δu=0inΩ∩{u>0},|∇u|がΩ∩α{u>0}上定数であり, L^n(Ω∩{u>0})=c.b)0【less than or equal】υ【less than or equal】1,Δυ=0inΩ∩{0<υ<1},|∇υ|がΩ∩α{υ>0}上定数であり,|∇υ|がΩ∩α{υ<1}上定数であり,L^n(Ω∩{υ=0})=c_1,L^n(Ω∩{υ=1})=c_2.に関して、数値解を求める新しいアプローチ、つまり曲面勾配流を提案した。