Banach関数空間におけるマルチンゲールの理論

点击翻译按钮获取中文摘要

今年度に行った、研究は次のとおりである。1.マルチンゲールf=(f_n)の二次変分S(f)に関するBurkholder型のノルム不等式||S(f)||_x【less than or equal】C||f_∞||_xが成り立つために、Banach関数空間Xが満たすべき条件を研究した。ここにf_∞はf_nのn→∞としたときの概収束極限である。得られた結果は、次の通りである:上記ノルム不等式が、すべてのマルチンゲールf=(f_n)に対して成立するための必要十分条件は、Xが再配分不変であり、そのBoyd indedxが不等式0<α_x【less than or equal】β_x<1を満たすことである。2.(F_n)に関するマルチンゲールf=(f_n)に対し、g_n=E[|f_∞||F_n]のように定義されるマルチンゲールg=(g_n)をAfと書く。fとAfの関係を研究し、次の結果を得た:Banach関数空間Xに対し、S(f)∈X⇔S(Af)∈Xがすべてのマルチンゲールfに対して成立するための必要十分条件は、上記1の結果と同様に、Xが再配分不変かつ0<α_x【less than or equal】β_x<1となることである。3.マルチンゲールのBanach空間上で定義された多くの作用素が、(補完空間の理論の用語で表現すれば)joint weak type (pp:∞∞)であることを証明し、これを用いて種々の新しいマルチンゲール不等式を確立することができた。例えば、Burkholder-Davis-Gundyの不等式の拡張、ある種のマルチンゲールのDoob分解に関する、ノルム不等式等を得ることができる。上記の結果1及び2は、2編の論文にまとめ現在投稿中であり、結果3は投稿準備中である。これらに加え、昨年度に行った研究をまとめた論文2編をレフェリーの指示に従い改訂中である。