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Characterizations of function spaces that preserve some results on martingales

在鞅上保留一些结果的函数空间的特征

基本信息

批准号：
17K05291
负责人：
菊池万里
金额：
$ 2.75万
依托单位：
University of Toyama
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2017
资助国家：
日本
起止时间：
2017-04-01 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

離散時確率過程h={h(n)}に対し、その極大関数をMh=sup{|h(n)|:n=1,2,3,...}で定義する。この記法の下、(1/p)+(1/q)=1であるような2つの指数p, q及び一様可積分な2つマルチンゲールf={f(n)}, g={g(n)}に対し、不等式E[M(fg)]≦E[f(∞)^p]^(1/p)E[g(∞)^q]^(1/q)が成り立つ．但し、E[x]は確率変数xの期待値を表し、実数A, aに対し、A^aと書いてAのa乗を表すものとする。E[f(∞)^p]^(1/p)はL^p-空間におけるf(∞)のノルムであり、E[g(∞)^q]^(1/q)はL^q-空間におけるg(∞)のノルムであるが、これらのノルムを一般のBanach関数空間X及びその連携空間（associate space）X'のノルムに置き換えてできる不等式、すなわち、E[M(fg)]をf(∞)のXにおけるノルムとg(∞)のX'におけるノルムの積で評価する不等式が成立するための必要十分条件（そのようなXの特徴付け）を考察した。その結果、少々課題は残ったものの、ほぼ予想通りの結論を得ることができた。他の多くのマルチンゲール不等式が成立するようなBanach関数空間Xの特徴付けと同様に、考察した不等式がXにおいて成立するためには、Xが再配列不変でなければならない。この条件に、XのBoyd指標に関する条件を付加することで、求める必要十分条件が得られる。但し、まだ証明に不完全な部分が少々残っているので、引き続きこの研究を進めたい。尚、多くのマルチンゲール不等式の成立するBanach関数空間が再配列不変性を持つことは、それらの不等式がフィルトレーションに依存せずに成立することから導かれる。今後は、1つのフィルトレーションに限定した上で、種々のマルチンゲール不等式が成立するための条件を研究したい。

discrete time accuracy process h={h(n)}| h(n)|:n=1,2,3,...} Definition. In this notation,(1/p)+(1/q)=1 p, q and f={f(n)}, g={g(n)}, the inequality E[M(fg)] ≤ E[f(∞)^p]^(1/p)E[g(∞)^q]^(1/q) is established. However, E[x] is accurate, and the expected value of A [x] is accurate, and A [x] is accurate. E[f(∞)^p]^(1/p) L^p-spaces f(∞), E[g(∞)^q]^(1/q) L^q-spaces g(∞)(associate space) X'is the product of X' and X '. The results of the study were as follows: He has many inequalities, such as the characteristic of Banach relation space X, the identity of Banach relation space X, and the identity of Banach relation space X. The condition of X and Boyd index is added. The necessary condition is obtained. However, the proof is incomplete and the research is progressing. Banach relation spaces are redistributed and independent. In the future, we will study the conditions for the establishment of inequality.