有限条件をみたす正則環の研究

正則環の研究は、von Neumannにより始められ、現在、多くの研究者の努力の下に、その理論が深められている。正則環の内部構造を調べる上で重要な有限条件として、directly finite性、unit-regular性がある。この有限条件をみたす正則環として、アーベリアン正則環、bounded indexをもつ正則環、primitive factorがアルチンである正則環がある。これらの環について、以下の3点が成立するかどうかを、今回の研究目的として掲げた。1.環上の射影加群が、directly finite性をみたす為の判定条件は何か。2.環上のdirectly finite射影加群の有限個の直和は、又、directly finite((DF性)と呼ぶ)となるか。3.環の剰余環は、(DF)性を有するか。以上の問題点について、今回、次の結果を得ることが出来た。1.について。この為の判定条件は、無限個の同型な零でない部分加群の直和を含まない事である。2.について。一般には成立しないが、成立する為の判定条件を、環の内部のイデアルを用いて、非常に具体的な形で与える事が出来た。3.について。体の直積を、そのsocleで剰余する環に於いては成立する事が分かった。しかし、部分的な解決は得られたが、より一般的な形での解決は、今後の課題として残されている。

正則環の研究は、von Neumannにより始められ、現在、多くの研究者の努力の下に、その理論が深められている。正則環の内部構造を調べる上で重要な有限条件として、directly finite性、unit-regular性がある。この有限条件をみたす正則環として、アーベリアン正則環、bounded indexをもつ正則環、primitive factorがアルチンである正則環がある。これらの環について、以下の3点が成立するかどうかを、今回の研究目的として掲げた。1.環上の射影加群が、directly finite性をみたす為の判定条件は何か。2.環上のdirectly finite射影加群の有限個の直和は、又、directly finite((DF性)と呼ぶ)となるか。3.環の剰余環は、(DF)性を有するか。以上の問題点について、今回、次の結果を得ることが出来た。1.について。この為の判定条件は、無限個の同型な零でない部分加群の直和を含まない事である。2.について。一般には成立しないが、成立する為の判定条件を、環の内部のイデアルを用いて、非常に具体的な形で与える事が出来た。3.について。体の直積を、そのsocleで剰余する環に於いては成立する事が分かった。しかし、部分的な解決は得られたが、より一般的な形での解決は、今後の課題として残されている。