半群環の研究

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弱アルキメデス的半群Sに対して、その構造群をGAMMA、〓-関数をIとする。GAMMAの元のgammaに対して、I(alpha、gamma)=0をみたすGAMMAの元alpha≠epsilon(epsilonはGAMMAの零元)の全体の集合をN(gamma)とおく。そのとき、Sが反射半群であるための必要十分条件は、N(theta)が空集合となるようなthetaがちょうど一つ存在して、GAMMAのすべての元gammaに対して、I(theta-gamma,gamma)=0が成立することであるという定理を証明した。また、Sが反射的であるとき、I(alpha、beta)=I(alpha、theta-alpha-beta)であり、I(alpha-beta、beta)=0且つI(delta-beta,beta)>0ならば、I(theta-delta、alpha)>0が成り立つことを示した。これらの結果を、非負有理数加法半群Q_0に適用することにより、Q_0の部分半群Sが反射半群となるための必要十分条件をより具体的に示すことが可能となり、Q_0の反射部分半群の構成の仕方が分かった。Q_0の反射部分半群Sに対して、それの体k上の半群環k〔X:S〕を考えたとき、これが反射的かどうかを調べることも我々の研究のテーマの一つである。そのためにk〔X:S〕のイデアル、特に有限生成イデアルの性質をかなり詳しく調べた。現在、有限生成イデアルはupsiron-イデアルであろうと予想してその証明を考えている。構造群が無限群となる場合N(gamma)が複雑となり証明を困難にしている。またQ_0は位相半群なので、その面からの考察も行っている所である。