多様体上の変換群論

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島田レゾリューションを用いた2次特性類の計算機による計算が完成した。すなわち、島田によるmod2の整数環のSteenrod代数上のレゾリューションの微分、縮小ホモトピーなどの写像を効果的に計算するためのプログラムが完成し、これを使用してmod2のSteenrod代数のホモロジーを計算することができるようになった。このことは島田(岡山理科大)による基底は従来利用されていたラムダ代数による基底よりも小さく、実際の計算に有効であることを実証している。ラムダ代数などではコホモロジーが求められるのに対し、この方法では直接ホモロジーの生成元が得られるため、3次のホモロジー群の生成元の微分像から、2次コホモロジー作用素のSteenrod代数上の関係が具体的な形で得られる。このことは幾何学的には次のような利点がある。球面ファイブレーションの2次特性類相互の関係を得ようとするとき、これまでの研究では直接このような関係が得られず、双対のコホモロジーの生成元とのKronecker対によりケルベア類などの関係を部分的に得るという方法をとってきた。しかし、我々の方法ではコホモロジーを経由する必要がないため2次特性類の関係が直接把握できるようになった。プログラミング言語として、既存の記号処理系(Mathematica,Reduce等)は非可換の代数系についてはあまり考慮されていないので、関数型言語のLISPを使用し、再帰的に定義された微分等の写像を効率よく実行するために要となる写像についてはメモ化(Michie,1968)を施した。Brieskorn球面上の複素共役による対合は研究代表者により研究されていた。これに関しての結果として、本研究では標準的な球面とは異なる球面の上の対合が標準的な球面上の線形な対合と横断的isovariantlyに同変ホモトピー同値となるための障害を具体的にWhitehead積を用いて表すことができた。この障害はホモトピー論において頻繁に出現する要素であり、未だ解決されていないケルベア予想およびこのホモトピー要素の2による可除性問題が、変換群論における対合の問題と深い関連を持つことを示唆している。今後この方面でも研究を進めたい。