位相群の距離化可能性,自由位相群の研究

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位相群の距離化可能性定理は古くから知られており,1930年代にはG.Brkhoff,S.Kakutaniにより「位相群が距離化可能である必要かつ十分な条件は第一可算性を持つことである」として定式化された。更に1990年になり、A.V.Arhangelskiiが第一可算性が実は更に弱い条件bi-sequential性によっておきかえることができることを示した。一方,実際の位相群の研究では自由位相群,位相群の帰納的極限をとる操作など,位相的には良くわかっている空間の極限として表わされる位相群が多く登場する.本年度ではこれらの群の組織的研究を行った.即ち群Gが或る種の被覆をもち,被覆の各要素が良い性質をもっているとき,Gはどのような構造をもっているかをしらべた.即ち定理1.GをHausdorff位相群でbi-sequential setからなる点可算な被覆をもつものとする.その時次の各場合にGは距離化可能になる.(i)Gはα_4空間である.(ii)点可算か被覆の各元は閉集合でありGはsequential fan Swの閉コピーを含んでいない.(又はAren's空間S_2の閉コピー含んでいない)(iii)被覆は単調増加な可算列になっており、かつGはSwの閉コピーを含んでいない。更に被覆が良い性質-点有限性をもっている場合には直接距離化可能性を示すことができ,その結果は特別な場合として古典的なBrkoff-Kakutaniの定理,及びArhangelskiiの定理を含むことがわかる.定理2.bi-sequentialな集合からなる点有限な被覆をもつ位相群は位相が被覆によって決定される場合は距離化可能である.この方面は本年度の研究により,見透しが良くなると共に,新たないくつかの疑問,問題も現れている.これらの成果はTopology and its Applicationへ一部発表され,更に発展した形で発表すべく準備中である.