超空間の位相構造と連続選択関数及びその応用

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Xを位相空間、Aをその空でない部分集合とする。Xの開集合からなる集合族Uに対しst(A,U)=st^1(A,U)=∪{U∈U:A∩U≠0}とし、帰納的にst^<n+1>=st(st^n(A,U),U)と各自然数nに対して定める.位相空間Xの任意の開被覆Uに対し,Xの有限集合Aが存在してst^n(A,U)=Xとできるときn-starcompactという。また、任意の開被覆Uに対し、Uの有限部分集合νが選べst(∪ν,U)=Xとなるとき、n1/2-starcompactという。位相空間論における基本的な概念であるコンパクト性、可算コンパクト性、擬コンパクト性は適当な分離公理のもとでそれぞれ1/2-starcompact、1-starcompact、21/2-starcompact、となり、star covering propertyの立場から統一的に扱うことができる。M. Matveevは1998年の論文"A survey on star covering Properties"、Topology Atlas No.330においてstar covering propertyを組織的に研究し多くの新しい方向を提示した。本研究の目的は主に2つあり、1つはMatveevにより導入されたcardinal function、n-star Lindelof numberとn1/2-star Lindelof numberおよびextent, Suslin number等、古典的なcardinal functionとの関係を確立することであり,今一つはコンパクト性と可算コンパクト、擬コンパクトの間を結ぶ概念として導入された,(n,k)-starcompact空間の性質を解明することである。ここでn,kは1/2,1,2,21/2の適当な値を取るものとする。得られた結果の主なものとしては、 (1)任意の無限基数kに対しても,擬コンパクトTychonoff空間で2-star Lindelof numberはk以上であるが21/2-star Lindelof numberは可算になる空間が存在する。(2)(2,2)-starcompact Tychonoff空間で(2,1)-starcompactでない空間が存在する。