作用素環の微分幾何学的構造の研究

前年度までの研究において、可換な可微分力学系にたいして横断的作用の概念を導入した。さらに、その力学系から接合積によって得られるC^*-環をファイバーとするC^*-環の束とその平坦な接続を構成し、その性質に関する研究を既に行ってきた。今年度は平坦ではない接続を構成し、その性質を研究し、またその曲率の計算を行った。その構成にあたっては、作用素環の互いに可換ではない微分を用いる必要があり、そのために作用素環や関数環の互いに可換ではない微分の構成とその性質についての研究を行った。また、作用する群が非可換な場合には、上の微分の像が必ずしも元の環に含まれるとは限らない。従って、従来のC^*-環の束だけでは不十分なことが明かになったため、その束に付随するさらに大きい束を構成し、そこでの接続を考えた。そして作用する群が可換な場合には、もとの束に帰着するような形で理論を構成した。そのために、非有界作用素の微分に関する研究も行った。特筆すべき成果としては、クロネッカー葉層に我々の理論を適用して、様々な接続に対して曲率を計算したところ、そこで現れる定数が、A.コンヌの作用素環上の射影加群における接続の理論での無理数回転環において現れる接続の曲率と一致することが明らかになった。これはコンヌの理論と我々の理論の間に深い関連があることを示唆している。今後はこの方向の研究も必要であると考えている。また、今までは、非可換な群が作用する力学系で、横断的作用を持つような例を見つけることができなかったが、このような例を構成し、上で構成した平坦でない接続を計算した。

前年度までの研究において、可換な可微分力学系にたいして横断的作用の概念を導入した。さらに、その力学系から接合積によって得られるC^*-環をファイバーとするC^*-環の束とその平坦な接続を構成し、その性質に関する研究を既に行ってきた。今年度は平坦ではない接続を構成し、その性質を研究し、またその曲率の計算を行った。その構成にあたっては、作用素環の互いに可換ではない微分を用いる必要があり、そのために作用素環や関数環の互いに可換ではない微分の構成とその性質についての研究を行った。また、作用する群が非可換な場合には、上の微分の像が必ずしも元の環に含まれるとは限らない。従って、従来のC^*-環の束だけでは不十分なことが明かになったため、その束に付随するさらに大きい束を構成し、そこでの接続を考えた。そして作用する群が可換な場合には、もとの束に帰着するような形で理論を構成した。そのために、非有界作用素の微分に関する研究も行った。特筆すべき成果としては、クロネッカー葉層に我々の理論を適用して、様々な接続に対して曲率を計算したところ、そこで現れる定数が、A.コンヌの作用素環上の射影加群における接続の理論での無理数回転環において現れる接続の曲率と一致することが明らかになった。これはコンヌの理論と我々の理論の間に深い関連があることを示唆している。今後はこの方向の研究も必要であると考えている。また、今までは、非可換な群が作用する力学系で、横断的作用を持つような例を見つけることができなかったが、このような例を構成し、上で構成した平坦でない接続を計算した。