飛躍型確率過程の極限定理

飛躍型の対称マルコフ過程には非局所ディリクレ形式が対応するが,その形式が,対称安定過程のディリクレ形式にある意味で類似であるとき,そのマルコフ過程を安定型過程と呼ぶことにする。この研究によって,かなり一般化した設定のもとで,安定型過程の推移確率の一様評価(すなわち,係数の正則性によらない,ヘルダー連続性の評価及び減少度合の評価)が得られた。これを周期的係数のディリクレ形式に対応する安定型過程の一様化問題に適用し,係数の連続性の仮定なしにその極限定理が成り立つことを示した。一様化問題はスモールパラメターを含むドライビング・ドリブン過程の極限定理の一種と考えることが出来る。その際,エルゴード的ドライビング過程の半群に対する解析的条件と共に,その確率過程の不変測度のある種の正則性が問題になる。このことを考察するには上記の推移確率の一様評価は有効ではなく,マルコフ過程の到達時間に関する評価が必要であり,レゾルベントの積分評価も必要である。これについて研究を行った結果,若干の成果を得たものの,当初の目標にはまだ到達していない。一方,研究分担者達によって,上記の内容に間接的に関係する形で,いくつかの成果が得られた。これらの成果は発表予定になっているものが多い。

飛躍型の対称マルコフ過程には非局所ディリクレ形式が対応するが,その形式が,対称安定過程のディリクレ形式にある意味で類似であるとき,そのマルコフ過程を安定型過程と呼ぶことにする。この研究によって,かなり一般化した設定のもとで,安定型過程の推移確率の一様評価(すなわち,係数の正則性によらない,ヘルダー連続性の評価及び減少度合の評価)が得られた。これを周期的係数のディリクレ形式に対応する安定型過程の一様化問題に適用し,係数の連続性の仮定なしにその極限定理が成り立つことを示した。一様化問題はスモールパラメターを含むドライビング・ドリブン過程の極限定理の一種と考えることが出来る。その際,エルゴード的ドライビング過程の半群に対する解析的条件と共に,その確率過程の不変測度のある種の正則性が問題になる。このことを考察するには上記の推移確率の一様評価は有効ではなく,マルコフ過程の到達時間に関する評価が必要であり,レゾルベントの積分評価も必要である。これについて研究を行った結果,若干の成果を得たものの,当初の目標にはまだ到達していない。一方,研究分担者達によって,上記の内容に間接的に関係する形で,いくつかの成果が得られた。これらの成果は発表予定になっているものが多い。