リーマン等質空間上の対称変換と大域幾何学

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D'Atri空間の研究の中核となるのは、自然還元等質空間及び一般化されたHeisenbeng群であり、それらの等質構造が重要となる。前者の多様性とその幾何学的性質の複雑さについては古田&渡辺がS^2×S^3上に具体的に構成した例でも示されている。まず注目したのは、無限小モデルと呼ばれる代数的構造とリーマン等質空間の存在とに関するLastaria&Tricerriの結果で,概複素構造をもつ場合,即ち等質エルミート多様体や等質ケーラー多様体の存在について対応する結果が得られた。概接触多様体や等質佐々木多様体の場合にも成立するかどうか研究を進めている。それは自然還元等質空間の重要なモデル空間である佐々木空間形に深かく係わることで,この特徴付けを標準接続によって行うことに成功した。また,対称変換の大域的性質を調べるのに都合のよいユニタリ・ケーラー多様体の特徴付けをすることができ,近々発表する予定である。自己共役アインシュタイン空間がコンパクトである場合についての完全な分類や,CP^2#<CP^2>^^^-上のBerard&Bergery計量について,ケーラーでないアインシュタイン・エルミート計量を構成した。トロイダル群上の正則直線束や有理関数体の超越次数についての精密な結果を得ることができた。更に,順序体の理論においてはこの基礎をなす実座と呼ぶ付値について,極大実座という新しい概念を導入し,SAP体の特徴付けの定理を発見した。これは順序体や代数関数体の分類に直結する重要な成果であると考える。引き続き生成系の多い代数関数体について様々なアプローチを行っている。