スペクトル幾何学

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1.Lを矩形格子_<a1>Zx・・・x_<ad>Zとし,d‐次元平坦矩形トーラスT^d=R^d/L上のSchrodiner作用素-△+qを考える。このスペクトラムをSpec(q),Iso(q)={q^^〜∈L^2(T^d):Spec(q^^〜)}とする。問題「qが完全分離ポテンシャル(q=Σ^d_<i=1>qi(xi))でq^^〜〓Iso(q)のとき(i)q^^〜も完全分離か?(ii)iに関する順列を除いてqi=q^^〜i(i=1,・・・,d)となるか?」にたいしd=2,3の場合,ある種の条件のもとに肯定的に解かれている。この問題のd>3のときの解決はd=2,3 のときよりはるかに難しいことが判明した。このことはd>3の場合の矩形格子の数論的な難しさに起因しているように思われる。今後この方面からのアプローチによりこの問題の新たな展開をめざしたい。またd=2,3の場合にも条件なしに上記の問題の解決をめざしたい。2.等スペクトルを持つが距離同型でない球面空間形の無限個の組が存在することが示されていたが,グラスマン空間形のクラスに対しても等スペクトルを持つが距離同型でない無限個の組が存在することを示した。3.等質球面空間形のスペクトルの個有値の重複度の具体的な計算結果は、T.Sakaiによる等質レンズ空間の場合だけであった。今年度の研究において任意の等質球面空間形にたいしスペクトルの重複度を具体的に求めた。